高考中的类比推理_高考中类比推理

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高考中的类比推理

大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。例

1、（2006湖北）半径为r的圆的面积S(r)r，周长C(r)2r，若将r看

作(0,)上的变量，则（r2)'2r，①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长

函数。对于半径为R的球，若将R看作看作(0,)上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，V(R)4

R33,S(r)4R

.答案：①(43

R3)'

4R2.②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比

例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛an｝中，若a10=0，则有等式a1＋a2＋„„＋an=a1＋a2＋„„＋

a*

19－n（n＜19，n∈N）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9=1，则有等式成立。分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛an｝前19项中，其中间一项a10=0，则a1＋a19= a2＋a18=„„= an＋a20－n= an＋1＋a19－n=2a10=0，所以a1＋a2＋„„＋an＋„„＋a19=0，即a1＋a2＋„„＋an=－a19－a18－„－an＋1，又∵a1=－a19，a2=－a18，„，a19－n=－an＋1，∴ a1＋a2＋„„＋an=－a19－a18－„－an＋1= a1＋a2＋„＋a19－n。相似地，在等比数列｛bn｝的前17项中，b9=1为其中间项，则可得b1b2„bn= b1b2„b17－n（n＜17，n∈N*）。

例3．（2003年全国高考新课程卷文科第15题）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂

直，则AB2

＋AC2

= BC2

。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以

得到的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则________________”。分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S

2△ABC＋S△ACD＋S△ADB= S

2△BCD

。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt△ABC中，过A作AH⊥BC于H，则由AB2=BH·BC，AC2

=CH·BC

相加即得AB2

＋AC2

=BC2

；在三侧面两两垂直的三棱锥A—BCD中，过A作AH⊥平面BCD于H，类似地由S

△ABC

=S△HBC·S△BCD，S

222△ACD

=S△HCD·S△BCD，S△ADB=S△HDB·S△BCD相加即得S△ABC＋S222

△ACD＋S△ADB= S△BCD。例

4、（2006上海）已知函数

yx

a

x

有如下性质：如果常数a>o，那么该函数在(0,a]上是减函数，在[a,)上是增函数。

（1）

如果函数b

yx2(x0)的值域为[6,)，求b的值；

x

（2）

研究函数yx2c（常数c

0)在定义域内的单调性，并说明理由；

x

（3）

对函数yxa和yx2c（常数c

0)作出推广，使它们都是你所推广

xx的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。

解：（1）函数

yx

2b

(x0)在(0,2b]上是减函数，在[2b,)上是增函数，所以该函

x

数在x2b

处取得最小值

22b.令22b6，得blog29.（2）设t

x20，显然函数yt

c

t

在(0,c]上是减函数，在[c,)上是增函数，令x2c得cxc，令x2c得x或xc.又因为

tx2在(,0]上是减函数，在[0,)上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数

yx2

c

(,]上是减函数，在[c,0)上是增函数，在(0,x2

在]上是减函数，[c,)

上是增函数。

（3）推广结论：当n是正奇数时，函数yxna（常数a

0)是奇函数，故在(,2a]上是

x

n

增函数，在[2a,0)是减函数，在(0,2]上是减函数，在[a,)上是增函数。

而当n为正偶数时，函数

yxn

axn

（常数a

0)是偶函数，在(,2a]上是减函数，在[a,0)是增函数，在(0,a]上是减函数，在[a,)上是增函数。

点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数yxna的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。

x

n