高考山东理科数学中导数大题的数形结合解法_山东高考数学理科试题

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2014年高考山东理科数学中导数大题的数形结合解法

ex2（20）（本小题满分13分）设函数f(x)2k(lnx)（k为常数，e2.71828是自然对数xx的底数）.（Ⅰ）当k0时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.x2ex2xex21ex(x2)k(x2)(x2)(exkx)k(2)(x0)解：（Ⅰ）f(x)4323xxxxxx

x当k0时，kx0，ekx0；

令f(x)0，则x2；

∴当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递减；

当x(2,)时，f(x)0f(x)单调递增。

（Ⅱ）函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，可知f(x)在(0,2)内存在两个不同的零点，即ekx0在(0,2)内存在两个不同的解，也可以说，直线y2kx与函数y1ex与(0,2)内有两个不同的交点，作出y1ex的图象，由图象可知，当直线y2kx在(0,2)与y1ex相切时，直线y2kx与函数y1ex与(0,2)内有1个交点，设切点为(x0,e0)，xx

(x0)ex0，直线y2kx的方程可写为ex0ex0x0，解得x01，知ke；此时，ky1

当直线y2kx经过(2,e2)时，直线y2kx与函数y1ex与(0,2)内有两个不同的交点，e2

此时k； 2

e2

∴k的取值范围(e,)。2