高考数学二轮复习专题讲座4——三角函数(张松年)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“三角函数二轮专题复习”。
南京市2009届高三数学教师寒假培训资料
三角函数二轮复习建议
金陵中学张松年
一、考试要求
二、命题走向
近几年高考以基础知识、基本方法为主，降低了对三角恒等变形的考查要求，难度较小，位置靠前，重点突出．
三、考试要求
1．理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．
2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．
3．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义． 4．掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式．
5．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 6．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的函数的简图，理解A，ω的物理意义．
7．掌握正弦定理、余弦定理，并运用它们解决三角形中的计算、判定、证明问题．
四、复习目标：
1．清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性与周期性． 2．会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期． 3．会结合三角函数线、三角函数图像的的对称性，解决一些问题． 4．会用三角恒等变换公式化简三角函数式．
(1)三角函数同角关系，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”．
(2)三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限．(3)三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”．(4)角的变形主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．
ｏｏｏｏ
(5)会求：sin15，cos15，sin75，cos75的值．
(6)三角式变形主要有：三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化)．解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角、看函数、看特征”，基本的技巧有：角的线性组合，公式变形使用，化切为弦，用倍角公式将高次降次．
注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的符号特征．“正余弦三个量sinx±cosx，sinx·cosx的内在联系”．
5．清楚三角形中的三角函数．
(1)内角和定理：三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方．
(2)正弦定理：abc＝2R(R为三角形外接圆的半径)． sinAsinBsinC
注意：已知三角形两边及一角，若运用正弦定理解三角形，可能有两解．
b2＋c2－a2(b＋c)2－a
2(3)余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，cosA＝－1等，常选用余弦2bc2bc222
定理判定三角形的形状．
11abc(4)面积公式：S＝aha＝sinC＝． 224R
五、高考考点分析
高考中三角部分所占分值在20分左右，主要以填空题和解答题的形式出现．主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：
第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题．如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性、单调区间等．
第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用．如辅助角公式、切化弦等． 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题．如分段函数值，求复合函数值域等．
六、基本题型与策略：
基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．
例1计算：tan2010°＝___________．
说明：利用商数关系、正弦、余弦的诱导公式、商数关系化为tan30°，或直接利用正切函数的周期性化为tan30°．
例2若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是___________象限．
说明：利用正弦的倍角公式化为cosθ＞0，sinθ＜0．
5π2π2π例3设a＝sinb＝c＝tan，则a，b，c的大小关系是____________． 777
2π2π2π说明：利用诱导公式化为a＝sinb＝cos，c＝tan777
π例4(1)函数f(x)＝sin(πx－－1的最小正周期为___________；
3ππ(2)若函数f(x)＝cos(x－＞0)＝____________． 6
5说明：直接利用周期公式．课本只给出了函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，＞0，0≤φ＜2π)的周期公式．
π例5函数f(x)＝sin(2x－)－1在区间[0，π]上的单调增区间为___________； 3
ππ说明：将2xt，求出t的范围，结合t＝2x－x单调增函数，求y＝33
sint的单调增区间与t的值域的交集．
基本策略：(1)诱导公式的特点是“奇变偶不变，符号看象限”；判定一个角的位置，要用这个角的两个三角函数值的符号来判定；(3)比较几个三角函数值的大小，常常化为锐角的同名三角函数值比较大小，或化为同一个锐角的三角函数值比较大小，找一个中间量，如π(4)利用周期公式求函数的最小正周期时，要掌握掌握正弦、余弦、正切的4周期；(5)要能熟练地写出正弦、余弦、正切函数的单调区间．
基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质．
例6计算：tan70ocos10o＋3sin10otan70o－2cos40o＝________________．
说明：提取tan70o，利用辅助角公式．
π12π例7若sin(－α)＝，则cos(2α)＝___________． 63
3ππ2π说明：设α＝β，则α＝β，从而＋2α＝π－2β．利用倍角公式． 663
π例8函数f(x)＝sin(πx－)－1的奇偶性为___________；
2说明：f(x)＝－cosx－1．
基本策略：(1)切化弦，和差公式的逆应用；(2)已知组合角的三角函数值，求另一个组合角的三角函数值，常常用对用已知值的角线性表示未知值的角；(3)对于与三角函数有关的函数奇偶性的判别，一般先化简，再结合正弦、余弦函数的奇偶性进行判别．
基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．
π1例9(1)已知tan(＋α)＝2，求 42sinαcosα＋cosα
sin2α－cos2απ1(2)已知α)＝(Ⅰ)求tanα的值；(Ⅱ)求 421＋cos2α
π1说明：(1)由tan(＋α)＝2，求出tanα＝从而cosα＝3sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α
4313＝2sinαcosα＋cos2α＝6sin2α＋9sin2α＝15sin2α＝． 10
2ππ例10已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[，π]，求sin(2α＋)的值． 43
3π说明：cosα＝2sinα或cosα＝－sinα．因为α∈[，π]，所以sinα＞0，cosα＞0，所以24
1π13cosα＝2sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α＝，从而sin(2α＋＝αcos2α＝sinαcosα5322
＋3313(1－2sin2α)＝sin2α＋＝． 2252
ππ例11函数f(x)＝sin2(x＋－sin2(x－)的最小正周期是_______，奇偶性是______． 44
πππππ说明：f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－＝cos2(x－sin2(x－)＝cos2(x－)＝－cos2x． 44444
例12求函数y＝sin4x＋3sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
说明：先化简，y＝sin4x－cos4x＋3sinxcosx＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x)＋23sinxcosx
π＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，在分别求最小正周期、最小值以及在[0，π]上的单调递增
3区间．
基本策略：(1)单角的“切”给出了“弦”的比例关系，是“明线”，而“弦”的平方关系是“暗线”，利用这两个关系，可以求出单角“弦”的平方，从而求出倍角的“弦”；(2)利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx＋φ看作是一个角的大小，结合y＝sinx的单调区间和ωx＋φ关于x的单调性进行判断．
基本题型四：三角函数的图像变换与解析式．
π例13把函数y＝sinx，x∈R的图象上所有的点向左平行移动3
1图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是_____．
2π1π说明：sinx→sin(x→sin(x)． 323
π例14将函数y＝sin(2x＋)的图象按向量a＝(m，0)(其中|m|≤π)平移后所得的图象关3
π于点(－，0)中心对称，则m＝____________． 12
πππππ说明：y＝sin(2x＋→y＝sin[2(x－m)＋]＝sin(2x＋2m)．令2×(－＋2m＝kπ，333123
11πk∈Z，得m＝(k)π，k∈Z．由于|m|≤π，所以k＝0，从而m＝． 2612
πππ方法二：函数y＝sin(2x＋的周期是π，图象的一个对称中心为(－0)，从而m＝． 3612
例15若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(＞0，0≤φ＜2π)的图象(部
分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________． 2ππ说明：方法一由图知T＝4×(－＝2π，所以ω＝1，33
2πππ11π从而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z．因为0≤φ＜2π，所以φ＝． 3266
2ππ方法二由图知T＝4×(－)]＝2π，所以ω＝1，所以f(x)的图像可以看作是sinx33
π11π11π的图像向右移了个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝． 666
基本策略：根据函数的图像先确定振幅A，再确定周期T．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f(x)的形式，再分别按照f(x)→f(x－a)，f(x)→f(ωx)，f(x)→f(x)＋k，f(x)→Af(x)的变化特征写出变换后的函数解析式．
基本题型五：三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用．
1例16(1)在ΔABC中，“A＞30º”是“sinA___________条件．
2(2)在ΔABC中，已知BC＝12，A＝60o，B＝45o，则AC＝___________．
说明：(1)必要不充分条件；(2)利用正弦定理，先求出AC，再利用正弦定理或余弦定理求出．
3例17设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c．
5(Ⅰ)求tanAcotB的值；(Ⅱ)求tan(A－B)的最大值．
说明：利用正弦定理转化为三角函数的等式．
例18(08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一
条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．
说明
例19(07海南·宁夏)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得CD＝s，BCD
θ ＝α，CDB＝β，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．
说明先在△BCD中求出BC，再在△ABC中求出AB．
基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．
基本题型六：三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．
3311π例20已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cosx，－sinx)，且x∈[0，． 2222
23(Ⅰ)求a·b及|a＋b|；(Ⅱ)若f()＝a·b－2λ|a＋b|λ的值． 2
3131π说明(Ⅰ)a·b＝xx－sinx＝cos2x，x∈[0，]． 22222
3131因为a＋b＝(cosx＋x，sinx－sinx)，所以 2222
π|a＋b|＝(a＋b)＝2＋2cos2x＝2|cosx|＝2cosx，x∈[0，]． 2
(Ⅱ)f()＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－4λcosx－1＝2(cosx－λ)2－2λ2－1．
π因为x∈[0，所以cosx∈[0，1]，以下分类讨论． 2
基本策略：先根据向量的运算建立目标函数，转化为三角函数式，或基本初等函数Ⅰ对三角函数的复合函数，综合利用恒等变形、变量代换、基本不等式、导数等知识解决问题．
基本题型七：三角函数性质的一般化．
例21已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．
说明因为f(2)＝0 f(2－3)＝0 f(1)＝0，所以f(x)＝0在区间(0，3)内至少有2个解，在区间(0，6)内至少有4个解．
例22已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．
说明由f(2)＝0 f(5)＝0．由f(x)是奇函数f(0)＝0f(3)＝f(0)＝0，又f(4)＝f(1)＝f(1－3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)，所以 f(1.5)＝0，f(4.5)＝f(1.5)＝0，综上，1，2，3，4，5，1.5，4.5都是f(x)＝0的解． 基本策略：以三角函数为模型，抽象出：如果一个定义在R上的函数f(x)满足f(a－x)＝±f(a＋x)，且f(b－x)＝±f(b＋x)，其中a≠b，那么这个函数一定是周期函数．
七、复习重点：
1．三角公式：诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式．
2．三角函数的图象和性质：对称性、单调性、周期性和图象的变换．
3．解三角形：以三角形为载体，求三角函数的值，求三角形的内角或边，综合运用三角、平面向量、数列及函数、导数等知识．
八、二轮复习建议
在复习过程中，应注重
1．三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性．
2．三角知识的操作性，落实化简、求值、解三角形等重点内容的程式化操作．
3．三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系．
4．三角知识的形象性，体现数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法．
