数学第一轮复习专题(理)第四章 第一单元2导数在研究函数中的应用_数学一轮复习函数导数

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第二节导数在研究函数中的应用

一、选择题

1．(2009年广州一模)设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

()

A．f(x)g(b)>f(b)g(x)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)

C．f(x)g(x)>f(b)g(b)D．f(x)g(x)>f(a)g(a)

2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系

中，不可能正确的是()

23．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x都有f(x)

≥0，则f1()f′053A．3B.C．2D.2

24.(2009年韶关调研)已知函数f(x)的定义域为[－2,4]，且f(4)

＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象

(a0)

如下图所示．则平面区域b0所围成的面积是()

f(2ab)

1A．2B．4C．5D．8

5．(2009年天津重点学校二模)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0.30.30)时不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝3f(3)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝(log3)f(log3)，则a，b，c的大小关系是()

A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b

二、填空题

26．函数f(x)＝x－2ln x的单调减区间是________．

127．若f(x)＝－＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．

28．有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙

脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度为________．

三、解答题

129．已知函数f(x)＝＋ln x－1.2

(1)求函数f(x)在区间[1，e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值；

1919

(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝的图象的下方．

nnn*

(3)(理)求证：[f′(x)]－f′(x)≥2－2(n∈N)．

10．已知a为实数，f(x)＝(x－4)(x－a)．

(1)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；

(2)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．

参考答案

1．C 2.D

3．解析：f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b>0对于任意实数x都有f(x)≥0得a>0，b－4ac≤0，∴b≤4ac，∴c>0，f1a＋b＋ca＋cac

1≥＋1≥1＋1＝2，当取a＝c时取等号．

f′0bbb

答案：C

4．B 5.C

22(x1)

6．解析：首先考虑定义域(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－≤0及x>0知0

xx答案：(0,1]

b

7．解析：由题意可知f′(x)＝－x

x＋2x∈(－1，＋∞)上恒成立，由于x≠－1，所以b≤－1.答案：(－∞，－1] 8．解析：设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s＝5259t2，1.47

当下端移开1.4m时，t0＝，315112

又s′＝－(25－9t)－·(－9·2t)＝9t

227

所以s′(t0)＝9·

1259t，1259（72)15

＝0.875(m/s)．

答案：0.875(m/s)

9．解析：(1)∵f′(x)＝x＋

x

当x∈[1，e]时，f′(x)>0.∴函数f(x)在[1，e]上为增函数，121

∴f(x)max＝f(e)＝，f(x)min＝f(1)＝－221223

(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＋ln x－1－

x12x(1x)(1x2x)12

则F′(x)＝x2x＝＝.xxx

∵当x>1时F′(x)

∴F(x)

232

即在(1，＋∞)上，f(x)

∴在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方．

(3)(理)证明：∵f′(x)＝x＋，x

当n＝1时，不等式显然成立；当n≥2时，∵[f′(x)]n－f′(xn)＝(x)(x

n2n3

＝C1＋C2＋„＋Cnnxnxn

－

－

－1

x

nn

1)xn

x

①

[f′(x)]n－f′(xn)＝Cnn

－1

x

1n－211n－2，② －Cn－＋„＋Cnx

x

11n2112n1n

①＋②得[f′(x)]n－f′(xn)＝((xn2)Cn)≥CnCC22 nn2x

(当且仅当x＝1时“＝”成立)．

∴当n≥2时，不等式成立．

nnn

综上所述得[f′(x)]－f′(x)≥2－2(n∈N＋)．

10．解析：(1)由原式得f(x)＝x－ax－4x＋4a，∴f′(x)＝3x－2ax－4.1

由f′(－1)＝0得a＝，此时有f(x)＝(x－4)(x)，f′(x)＝3x－x－4.12

由f′(x)＝0得x＝或x＝－1，当x在[－2,2]变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：

∵f(x)极小＝f()f(x)极大＝f(－1)＝，2723

又f(－2)＝0，f(2)＝0，950

所以f(x)在[－2,2].227

(2)法一：f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0，4a＋8≥0即

8－4a≥0，∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2]．

aa＋12

法二：令f′(x)＝0即3x－2ax－4＝0，由求根公式得：x1,2＝(x1

所以f′(x)＝3x－2ax－4在(-∞,x1)和(x2,+∞)上非负．由题意可知，当x≤－2或x≥2时，f′(x)≥0，从而x1≥－2，x2≤2，a＋12≤a＋6即，解不等式组得：－2≤a≤2.a＋12≤6－a.即a的取值范围是[－2,2]．