自主招生考试常用不等式_不等式自主招生

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自主招生考试常用的不等式

22222221．柯西不等式(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn)，其中等号成ana1a2立条件为。b1b2bn

证明：构造一元二次函数f(x)(a1xb1)(a2xb2)(anxbn)，则

2222f(x)(a12a2an)x22(a1b1a2b2anbn)x(b12b2bn)0 22

2等价于判别式小于等于0，即

22224(a1b1a2b2anbn)24(a12a2an)(b12b2bn)0，ana1a2得证，且等号成立条件。b1b2bn

2．四个平均的关系：

22a1a2ana12a2anAQ平方平均n，算术平均n，几何平均nn

Gna1a2an，调和平均Hn1111。a1a2an

满足关系：Qn

用。AnGnHn，其中等号成立条件为a1a2an。调和平均不常

3．排序不等式（排序原理）：

设有两个有序数组：a1a2an，b1b2bn，则有 a1b1a2b2anbna1bj1a2bj2anbjna1bna2bn1anb1（同序和）

（乱序和）（逆序和）。

其中j1,j2,,jn是1,2,„,n的一个排列。

4．切比雪夫不等式：若a1a2an，b1b2bn，则有 a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn。nnn

附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。

5．关于凸函数的琴生不等式：

（1）函数的凹凸性：

定义：设连续函数f(x)的定义域为(a，b)，如果对于(a，b)内任意两数x1，x2，都有

f（x1x2f(x1)f(x2))

①

则称f(x)为(a，b)上的下凸函数．

注：①若把①式的不等号反向，则称这样的f(x)为区间(a，b)上的上凸函数．（或凹函数）

②下凸函数的几何意义：过yf(x)曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．

常见的上凸（凹）函数，0 上，y=sinx,y=cosx,y=lgsinx,y=logcosx



2

常见的（下）凸函数，0，+上，y=x2,y=x3,y=xn,y=

nx

③f(x)的二阶导数f''(x)0，则f(x)为下凸函数；f(x)的二阶导数f''(x)0，则f(x)为

上凸函数。

二、凸函数有琴生不等式性质：

若f(x)在区间I为下凸函数，则对x1,x2,,xnI，总有f（x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn))；

nn

若f(x)在区间I为上凸函数，则对x1,x2,,xnI，总有f（x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn))。

nn

2，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 x

附：应用f(x)

111n

3，等号成立条件a1a2an。222

2a1a2an(a1a2an)

而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的1112n2()2aa2an。22，等号成立条件1a1a2ana1a2an

加权形式：

对任意一列a1，a2，，anR+，a1+a2++an=1，函数f(x)是a,b上的凸函数，有f(a1x1+a2x2+anxn)a1fx1+a2fx2++anfxn

对任意一列a1，a2，，anR+，a1+a2++an=1，函数f(x)是a,b上的凹函数，有f(a1x1+a2x2+anxn)a1fx1+a2fx2++anfxn

常用不等式：

ttx1t+x2++xnx+x++xn

12(t>1);

nntt

x1t+x2++xnx1+x2++xn

(0

nn

tt

x1+x2++xnx1x2xn

n

9222

xyz

例1.解方程组

48x6y24z39

n

P为ABC内一点，它到三边BC、CA、AB的距离分别为d1,d2,d3,S为ABC的面积

例2.aaa(a+b+c)

2++

d1d2d32S

例3.例4.例5.已知a>0,b>0,有小于1的正数x1,x2,,xn,且x1+x2++xn=111

1+++>4 3

3x1-x13x2-x2xn-xn

111

设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求a++b++c+的最小值

abc

222

111+++a+ba+2ba+nb

例6.求证：对x,yR,x2+y2+xy3(x+y-1)恒成立。

x1

4(y0)都满足-23

yy

例8.求证：

例9.已知正数列a1,a2,,an，对大于1的n，有a1+a2++an= 试证：a1，a2，，an中至少有1个小于1.例10.若a，b，cR，求

例11.用琴生不等式证明均值不等式An

Gn，即：aiR，则

例12 a，b，cR，且a + b + c = 3

9．

例13.f(x)定义在(a，b)上，f(x)在(a，b)上恒大于0，且对x1，x2(a，b)有



3n+1n,a1a2an=, 22

abc的最小值 

bccaab

a1a2an

n

f(x1)f(x2)[f（x1x22)]． 2

一、函数的凹凸性：

定义：设连续函数f(x)的定义域为(a，b)，如果对于(a，b)内任意两数x1，x2，都有

f（x1x2f(x1)f(x2))

2①

则称f(x)为(a，b)上的下凸函数．

注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的f(x)为区间(a，b)上的上凸函数．（或凹函数）

2．下凸函数的几何意义：过yf(x)曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．

二、琴生不等式：

若f(x)是区间(a，b)上的凸函数，则对任意的点x1，x2，„，xn(a，b)，有

f（x1x2xn1)[f(x1)f(x2)f(xn)]

nn

取“=”条件：x1 = x2 = „ = xn 注：更一般的情形：

设f(x)是定义在区间(a，b)上的函数，如果对于(a，b)上任意两点x1，x2，有，则称f(x)是(a，b)上的下凸函数．其推广形式，pf(x1)pf(x2)f(px1qx2)（其中p，qR，pq1）即加权的琴生不等式：

，qnR，且q1q2qn1，若f(x)是区间(a，b)上的下凸函数，则对任意的x1，设q1，q2，x2，„，xn(a，b)有f(q1x1q2x2qnxn)q1f(x1)q2f(x2)qnf(xn)．

取“=”条件：x1x2xn

说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1)f(x)sinx在[0，)上是上凸函数

(2)g(x)lgx在(0，)上是上凸函数(3)h(x)tanx在[0)上是下凸函数 2

证明：(1)对x1，x2[0，)

f(x1)f(x2)1xxxxxxxx

(sinx1sinx2)sin12cos12sin12f(12)

222222



(2)对x1，x2[0，+

)

lgx1lgx2xx

lg12 22

即：

g(x1)g(x2)xx

g(12)．

(3)当0x1，x2



时

sinx1sinx2sin(x1x2)2sin(x1x2)

 cosx1cosx2cosx1cosx2cos(x1x2)cos(x1x2)

tanx1tanx2

2sin(x1x2)xx2sin

2tan1（∵tan）

cos(x1x2)121cos2

即：

h(x1)h(x2)xx

h(12)．

a1a2an

n

例2 用琴生不等式证明均值不等式An

Gn，即：aiR，则

证：∵aiR

)上的上凸函数 设f(x)lgx，则f(x)为(0，由琴生不等式：

aa2an1

(lga1lga2lgan)lg1

nn

即

a1a2an

n

例3a，b，cR，且a + b + c = 3

9．证明：

设f(x)，则f(x)为(0，+)上的凹函数．

1abc

由琴生：[f(a)f(b)f(c)]f()f(1)3

∴ f(a)f(b)f(c)9．

例4f(x)定义在(a，b)上，f(x)在(a，b)上恒大于0，且对x1，x2(a，b)有

f(x1)f(x2)[f（x1x22)]． 2

x1x2xnn)]．

n

求证：当x1，x2，xn(a，b)时，有f(x1)f(x2)f(xn)[f(证明：由题：对x1，x2(a，b)，有f(x1)f(x2)[f（则有lgf(x1)lgf(x2)2lgf(即

x1x2)2

x1x22)]，两边取常对： 2

lgf(x1)lgf(x2)xx

lgf(12)

于是：令g(x)lgf(x)，则g(x)为(a，b)上的凸函数 由琴生不等式：对x1，x2，xn(a，b)，有

lgf(x1)lgf(x2)lgf(xn)xxxn

lgf(12)

nn

即f(x1)f(x2)f(xn)[f（x1x2xnn)]．

n