认知心理学作业稿解读_认知心理学作业

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数学问题解决的相关研究

田蕊

（天津大学教育学院）

摘要：问题解决是数学教育的核心问题,也是数学学习心理学研究的核心问题之一。数学问题的研究涉及领域广泛、研究角度多样、应用尝试增多、进展速度较快。本研究以对数学应用题的问题解决为例，探讨了问题解决在数学领域的具体应用。关键词：问题问题解决数学问题解决

一、相关概念的界定

1、问题的定义：不同的学科领域对“问题”有不同的界定。心理学界对问题划分影响比较大的是认知学派。他们从个体面临问题的操作要素出发,认为问题是“给定信息和目标之间有某些障碍需要被克服的刺激情境”,因此,问题具有三个主要组成部分:当前状态、目标状态、从当前状态向目标状态转化所需要的一系列操作(算子)。

2、良好问题应该具有以下特征:(1)问题状态是清晰、简洁的;(2)问题状态的描述是通过直观的、有意义的符号表现的;(3)问题有一定的难度,但是可以解答;(4)被试的解答可以评价为正确的或者错误的;(5)对问题的回答与具有的知识有联系。

3、数学问题：1988年的第六届国际数学教育大会(ICME)将数学问题界定为“一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境”。

4、问题解决：（1）美国心理学家安德森把问题解决定义为任何指向目标的认知性操作程序；（2）问题解决是当问题解决者没有明显的解决方法时，旨在达到目标的认知加工(Lovett，2002;Mayer，1992)。这一定义对当代的问题解决研究产生了更为深远的影响（3）从信息加工观点出发,问题解决过程可看作是对问题空间的搜索过程。（4）从心理学的角度出发可以对“问题解决”进行微观的描述:问题解决就是从最初的问题空间(判断1)出发,经历不同的问题状态(不同的子问题),运用一定的策略达到对问题的正确表征的过程,最终获得问题结果（5）问题解决具有四个主要特征:第一，问题解决是认知的，即它出现在问题解决者的认知系统内部并且只能通过他们的行为间接推断出来。第二，问题解决是一个过程，即它涉及在问题解决者的认知系统内表征和操作知识。第三，问题解决是定向的，即问题解决者的认知加工被其目标所指引。第四，问题解决是个人的，即问题解决者个人的知识和技能会决定问题的困难或容易，用这些知识和技能能够克服解决办法的障碍。

5、数学问题解决：（1）作为目的的“问题解决”，把“问题解决”看作目的时，它就独立于特殊的问题，独立于一般过程或方法以及数学的具体内容+此时，学习怎样解决问题是学习数学的根本原因；（2）作为过程的“问题解决”，美国全国数学管理者大会(NCSM)把“问题解决”定义为：将先前已获得的知识用于新的不熟悉的情境的过程；（3）作为数学能力的“问题解决”数学教育的主要目的是培养学生的数学能力，而问题解决的能力正是数学能力的核心，它是其他基本能力的组合和发展。

二、问题解决研究的发展

（一）早期发展。

1、联想主义。（1）联想主义心理学的建立者Hartley认为,联想是能动的,他用“力量”(power)一词来表述这种能动性,就是说,只要一个感觉或观念出现,就会导致另一个感觉或观念出现。他认为观念是经验的产物,人们把某一经验分析为其组成部分,每一部分包含一种特殊的观念,人们通过联想而使这些经验过的部分成为观念。这是关于问题解决的最初描述。（2）联想学说的苏格兰学派的Brown进一步用“暗示”取代“联想”,他说所谓暗示是一种主动作用,是由某一种观念或思想引起另一种观念或思想,其中包含着创造性思维。Bain在论述联想学说时,也涉及许多问题解决的策略,他发挥了斯宾塞的观点,阐发了“尝试错误”在问题解决中的作用。他把构造联想视为对以前习得的经验的一种新的创造或组合（3）总之,联想理论是将问题解决过程看作一种联想学习过程,带有渐进的性质。在这种学习过程中,适宜的联系得以建立并通过强化而巩固,反之,不适宜的联系则逐渐消退,这种学习具有尝试———错误的方式。

2、格式塔理论格式塔学派认为问题解决非常类似知觉,当我们在注视某一物体时,作为知觉者的任务是将视觉场中分离的成分排列为一个连贯的整体,作为问题解决者,我们的任务是心理上一次又一次重新结合问题中的成分直到获得稳定的格式塔。格式塔学派通常认为问题解决按固定的顺序进行。根据Walls(1926)的观点,这些加工过程为:(1)准备:在问题解决的阶段,解决者认识到问题的存在,并做出理解和解决问题的初步尝试。(2)酝酿:如果初步尝试失败,问题解决者可能将问题搁置一段时间,至少在意识水平上,思考者不再对任务进行加工,然后在某种潜意识水平上,加工继续进行。(3)豁朗期:豁朗是顿悟的闪现,这种顿悟是潜意识工作的结束,并把答案带到意识层面上来。(4)验证期:确认顿悟,通常只是检查以确信顿悟的工作。由此可以看出格式塔心理学家强调思维的不连续性,即认为问题解决是由一些在性质上互不相同的过程来完成的。主张由顿悟而获得解决问题的方法。在他们看来顿悟的结果使个体形成新的认知结构,强调了问题情境的结构的重要性。

（二）现代研究问题解决的研究在本世纪认知心理学兴起后,出现了新的转折。认知心理学从信息加工观点出发,将人看作主动的信息加工者,将问题解决看作是对问题空间的搜索,并用计算机来模拟人的问题解决过程,以此来检验和进一步发展对人的问题解决的研究。这些新的观点是Newell和Simon首先提出的,为问题解决的研究开拓了新的方向,并取得了引人注目的成就。

1.知识贫乏领域的问题解决。五六十年代,信息加工心理学对问题解决的研究大多数集中在知识贫乏领域中的问题上,信息加工理论将问题解决描述成问题解决者与任务环境相互作用的过程。在这一过程中,问题解决者首先要将任务环境表征为记忆中的问题空间,然后在问题空间中解决问题。问题解决者、任务环境和问题空间三个概念就构成了问题解决信息加工理论的基本框架。Simon认为,问题解决的过程可以分为两个基本的子过程:理解和搜索。理解过程主要产生个人对问题的心理表征,；搜索过程则是在问题表征的基础上发现问题或计算问题的解法。Newell和Simon将人解决问题的方法分为两大类:一类是算法——就是把解决问题的所有方法都列出来,逐一加以尝试,特点是只要问题有解,就能保证在有限的步数内获得问题的解,经常表现为假设检验法,这种方法往往伴随着较多的错误,是一种效率很低的方法;另一类是启发式方法——利用一些经验性规则或其他的有用信息来帮助解决问题,可以使尝试的次数减少到最少,从而快速有效地得到问题的解。一些常用的启发式方法包括:选择性搜索法、手段——目的分析法、反推法等。

2、知识丰富领域中的问题解决。20世纪70年代后期以来,信息加工心理学在问题解决研究中的重点逐步由知识贫乏的任务领域转移到知识丰富的任务领域。从80年代以来重点研究了问题解决中再认与直觉、知识丰富领域问题解决中的专家——新手差异、知识丰富领域中的问题表征、结构不良等。下面就简单介绍在这几方面的研究成果。(1)直觉与再认。在知识丰富领域的问题解决中,专家除了拥有大量的知识外,还有一个很重要的特点,即专家遇到问题时可以很快分析情境并做出反应。Simon认为,一个人只有对非常熟悉的东西才会有直觉,因此直觉实际上是一种再认,通过再认解决问题能力又是建立在大量的专家知识的基础上的,专家之所以能够很快地解决问题,是因为他能够准确地再认熟悉的组块,然后据此长时记忆中提取相应地知识解决问题。关于直觉地问题,主要强调了知识的作用。(2)知识丰富领域问题解决的专家——新手差异。为了把熟练的效果从不同任务领域的影响中分离出来,许多研究者对专家和新手在问题解决过程中的差异进行了深入的研究。Simon将知识丰富领域问题解决的专家——新手差异归纳几点:A,专家不注意中间过程,可以很快地解决问题;新手则需要很多中间过程,而且要有意识地加以注意,这种差别使专家的口语记录短得多,解决速度也快得多。B,新手往往先明确目标,采用从未知到已知的方式解决问题,表现为一种再认的过程。C,专家更多地利用生活经验的表征来解决问题,表现为直觉的特点;新手则更多地依赖正规的方程式解决问题。D,在对时间进行分类时,专家主要考虑问题的深层结构;而非专家更多的受到了问题表面形式的影响。(3)知识丰富领域中的问题表征。在知识丰富领域中知识表征同样对问题解决具有重要的影响,在解决问题的过程中,被试必须利用所学的知识分析问题陈述中的语义,建立适当的表征,并在此基础上进行问题解决。在问题表征的研究上,认知心理学家主要涉及两个问题:第一,被试如何从对问题的言语陈述中获得问题表征,并以适当的方式储存在记忆中。第二,问题表征的方式是如何影响问题解决的过程和结果。(4)结构不良的问题。所谓结构不良问题是指那些意义、目标或算子不明确的题,主要是一些现实生活中的复杂问题。

三数学问题解决——数学应用题的解决

（一）数学问题解决

1、数学问题解决的过程是：①分析问题背景，寻找数学联系；②建立数学模型；③求解数学问题；④检验；⑤交流和评价；⑥推广+在数学问题解决的教学过程中，既要注重保证学生的主体地位，又要重视教师主导作用发挥，二者相辅相成，不可偏颇+

2、数学问题解决的教学途径主要是：①创设问题情景，精心选择$好问题%；②形成知识组块，建构知识体系；③ 加强数学解题思维策略的训练；④引导学生开展探索活动

3、关于解题策略的研究，由于出发点及分类的不同，因而对其提法也有所差异+总括起来，大致有以下方面：①目标策略；②知觉策略；③模式识别策略；④问题转化策略；⑤特殊化策略；⑥逆向策略；⑦整体策略

（二）数学应用题的解决

1、表征策略。良好的表征是问题解决的核心。国内外的研究都表明，表征是同题解决的基本环节，是数学应用题解决的关键”，以小学五年和差应用题的实验研究为例来分析数学应用题的表征策略。

（1）理论基础。Lewis和Mayer针对一步比较应用题提出过一个一致性假设理论(consistency aypothesis)”’。认为解题者在对问题的条件进行表征时有一个偏爱的顺序，即认为在一致性问题中未知量是第二个句子的主语(如：小明有5个苹果，小红比小明少2个，小红有几个苹果?)。如果给出的是不一致问题，也就是说未知量是第二个句子的宾语(如：小明有5个苹果，他比小红多2个，小红有几个苹果?)，这时解题者就需要重新安排句子的结构关系．以符合自己的偏爱顺序。这种对句子顺序的重新安排包括转换关系句中主语和宾语的位置、由关系词决定的算术运算的转换。他们认为理解和解题过程是最容易出错的，在对已知信息重新安排顺序时，对于不一致问题要比一致问题容易出错。对此，Hegarty，Mayer和Monk又进行了深入研究“1，发现成功的和不成功的解题者在问题的表征上分别倾向于采用问题模型策略和直译策略。直译策略是一种走捷径的方法，也就是说解题者试图选择问题中的数字，根据关系词找出相应的运算，再把数字连起来进行列式。而使问题模型的解题者则试图把握整个问题情境建立一个心理模型。因此，在表征阶段，倾向于直译策略的解题者更多的关注于题目中的数字和关系词而较少关注变量名称，对于倾向于问题模型策略的解题者则不仅仅关注题目中的数字和关系词，而且较多的关注于各个变量名称。

（2）本研究概述。A和差应用题是一种典型应用题，与Hegarty等人所研究的比较应用题相类似，也存在一致、不一致两种题型，那么在表征和差应用题时，学生是否也会采用与表征比较应用题相类似的策略呢?研究以小学五年级学生为被试，通过实验研究检验了小学生表征和差应用题所采用的策略，以进一步检验并扩展Hegarty的理论。我们认为教师在应用题教学中所使用的某些特定言语可能对学生的审题或解题思路等产生一定的影响，所以本研究还加入了提示做为自变量以考查言语提示对于小学生解决和差问题，特别是在解决不一致题型时，是否能起到一定的积极作用。最后本研究检验了解和差应用题的成功者与不成功者在列式正确性的自我评价上的差异。

B材料：本研究选用两种形式的和差应用题(一致题型和不一致题型)为实验材料。前测材料为8道和差应用题(一致题型和不一致题型各4道)和7道其他类型应用题；正式测验为4道和差应用题(一致题型和不一致题型各2道)。一致题型在题目中出现了“多”、“少”这样的关系词，相应的正确列式需要进行“+”、“一”运算(如：果园里桃树和杏树共有180棵，桃树比杏讨多20棵，桃树有多少棵?)；不一致题型与此相反，出现“多”、“少”这样的关系词，相应的正确列式需要进行“一”、“+”运算(如二实验小学共有学生1680人，其中男生比女生多36人，女生有多少人?)。

C实验程序：本实验采用2(成功与否)×2(提示与否)x 2(一致与不一致题型)混合实验设计。其中成功与否、提示与否为被试间设计，题型为被试内设计。成功组与不成功组各有一半被试接受提示，一半不接受提示。正式测验采用4道和差问题(一致与不一致题型各2道，1、4题为一致题型，2、3题为不一致题型)进行个别施测。测验开始时，先让被试看一遍题，看完后(大约10秒)，主试收回题卡。不提示组直接让被试在答题纸上写出这道题的内容。同时告诉被试，如有不清楚的地方可以问。如果被试问，就告诉被试相应的内容并记录“回看”次数(被试提问的次数)和“回看”内容，然后让被试用算术解法列出这道题的算式。后让被试对自己的算式的正确性进行评分，以4点记分(一定对，可能对，可能错，一定错)。提示组在让被试写出这道题的内容之前告诉被试注意理解这道题的意思，其余步骤同不提示组。

D变量指标：统计时以被试“回看”次数(被试的提问次数)和“回看”内容作为直译策略和问题模型策略的指标。其中“回看”数字和关系词的次数作为直译表征策略的指标．“回看”变量名称的次数作为问题模型表征策略的指标。如在被试看完第一题(果园里桃树和杏树共有180棵，桃树比杏树多20棵，桃树有多少棵?)撤走题卡后，被试如果问“求的是什么树？“桃树比杏树多多少棵？”，则主试告诉被试是桃树，多20棵，同时主试在纸上记录被试的提问内容“桃树一次”“20一次”，在第一题中，桃树，杏树为变量名称，多为关系词，20，180为数字，其余题以此类推。

（3）实验结果：A在“回看”数字和关系词上，成功与否存在主效应，且不成功组被试“回看”数字和关系词的次数显著多于成功组；B题型存在主效应，且对不一致题型“回看”数字和关系词的次数显著多于对一致题型的次数；C在不一致题型上“回看”数字和关系词与“回看”变量名称次数存在显著差异，且“回看”数字和关系词的次数显著多于变量名称的次数。D成功与否存在主效应，且在对列式正确性的自我评价上成功组要显著高于不成功组；（4）结论A这说明对不一致题型被试“回看”数字和关系词的次数多于一致题型主要是由于在面对不一致题型时不成功组被试“回看”次数明屁增多造成的，同时这也表明不成功组被试当面对不一致题型时，不仅不会采用问题模型策略，而且更明显的采用了直译的表征策略，他们可能也意识到不一致题型要难些，但是他们只是更加注重了对数字和关系词的关注，还是不去关注整个问题情境，也正因为如此才导致了他们在面对不一致题型时会出现更多的列式错误。B通过本研究发现成功组被试在列式正确性的自我评价上显著高于不成功组被试，这也证明了由于成功解题者在表征策略的使用上使他们能够对列式和解题起到了监控作用，因而他们也更加自信，对自己的评价也更高。

2、认知因素：

(1)视空间能力。视空间能力是人类智能结构的重要组成部分,空间视觉化是某些心理功能取得良好成绩的重要基础。空间能力和数学学习之间存在紧密的联系,大量研究证实。在应用题解题中高空间能力者的解题水平远优于低空间能力者,空间视觉化能力与图式表征的运用有显著正相关。但是视空间能力很大程度上代表了表征的能力层面,在数学问题解决中表征几个方面的特征,比如知识、策略、能力都发挥作用,两者的发展又呈现出一定的不平衡性。这在小学高年级中表现较为明显。总之,视觉空间能力围绕着视觉空间表象进行并对视觉空间表征产生着复杂的影响,是衡量数学能力的一个重要方面。(2)场认知方式。场认知方式指个体在识别客体空间关系特征,对非构情景的组织以及在认知上重建问题的能力。大量有关数学学习中认知方式的研究已经较一致地表明,场独立性的增长与数学能力有显著的正相关，场独立特征越强,解决问题的能力越强,数学学习成绩也就越好。游旭群指出随着年级的增长,小学生的表象和知觉能力与其视空间能力的增强，促进场认知方式独立型的发展;而场认知方式独立型的增强又促进其元认知监控能力和高水平视空表象加工能力的增强,促进数学视觉表征能力的发展。相应地,其数学解题水平也就提高了。(3)工作记忆。近年来,研究者开始意识到学生数学成绩的差异也和工作记忆有关。工作记忆是人类信息加工系统的核心,是一个兼具存储与加工资源的有限系统。当任务对工作记忆要求高使得认知超负荷时就会产生资源分配不足的问题,从而影响学习或问题解决的效率。李晓东研究指出,比较应用题解决中,与一致型问题相比对不一致型问题的关系陈述在心理上的转换加重了工作记忆的负荷,导致了更多的解题错误。同时工作记忆的容量影响学生的学业表现。对于工作记忆容量小的个体,学习任务产生的认知负荷常超出其工作记忆能力所承受的限度,导致心理资源不足缺少对学习任务的有效加工。相同的学习任务产生的认知负荷对不同个体影响不同,特别是学困生,能否运用一些学习策略将困难的复杂任务分解成简单任务以降低工作记忆负荷就成为其解决问题的关键。

(4)阅读能力。数学不仅是数学运算、空间关系和逻辑思维的问题,阅读理解能力常常是解决数学问题特别是数学文本问题的必要前提。应用题的结构分为数量表述和情节表述两个方面,相对于一个事实其中涉及的数量关系是固定的,但可以用不同的情节陈述结构,这样就构成了难度有一定差别的应用题。小学生特别是低年级学生应用题解决的困难主要不是数学能力而是语文能力的问题。田学红指出,阅读理解水平是影响问题解决的重要变量,不仅影响问题解决,也影响问题解决的速度;它影响对应用题结构的认知,这种影响主要通过对问题表征的认知来体现。小学教学中学生阅读能力相对低于数学教学要求是普遍存在的,其严重程度随年级升高逐渐减缓。但数学学习的连续性较强,一旦在低年级形成某种定势,可能到高年级还有直接影响,也许这也是应用问题教学始终困难的一个因素。参考文献：

《数学问题解决的研究综述》李向阳，杨伊生《数学问题解决中模式识别的影响因素研究》于文华《问题解决的历史渊源与发展态势》项成芳

《小学高年级学生数学复杂问题解决的认知研究》张振新

《数学领域知识学习中工作记忆与学业水平对问题解决的影响》赵燕

读书的好处

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到