13高等数学同济大学第六版本_同济版第六版高等数学

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习题1

31 根据函数极限的定义证明

(1)lim(3x1)8

x3

(2)lim(5x2)12

x

25 证明函数f(x)|x|当x0时极限为零

证明 因为

|f(x)0|||x|0||x||x0|

所以要使|f(x)0| 只须|x|

因为对0  使当0|x0| 时有

|f(x)0|||x|0|

所以lim|x|0x0

所以极限limf(x)存在x0

所以极限lim(x)不存在x0

7 证明 若x及x时 函数f(x)的极限都存在且都等于A 则xlimf(x)A

证明 因为limf(x)A limf(x)A 所以>0xx

X10 使当xX1时 有|f(x)A| 

X20 使当xX2时 有|f(x)A| 

取Xmax{X1 X2} 则当|x|X时 有|f(x)A|  即limf(x)Ax

8 根据极限的定义证明 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等

证明 先证明必要性 设f(x)A(xx0) 则>0 0 使当0

因此当x0

|f(x)A|

这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A 

再证明充分性 设f(x00)f(x00)A 则>0

1>0 使当x01

2>0 使当x0

取min{1 2} 则当0

| f(x)A|

即f(x)A(xx0)

9 试给出x时函数极限的局部有界性的定理 并加以证明

解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|