一道典型的函数极值点讨论与不等式问题_函数的极值点偏移问题

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一道典型的函数极值点讨论与不等式问题

已知函数f(x)ex2x23x.（1）判断函数f(x)在区间[0,1]上极值点情形及个数；

（2）当x1时，若关于x的不等式f(x)ax恒成立，求实数a的取值范围。

解：（1）f(x)ex4x3，f(x)ex40，所以f(x)在[0,1]上单调递增，又因为f(0)20，f(1)e10，所以根据零点存在性定理，f(x)在[0,1]内只有唯一的零点x0，且当x(0,x0)时，f(x)0，当x(x0,1)时，f(x)0，所以f(x)只有一个极小值点，无极大值点。

ex

2x3，（2）f(x)ax可以转化为ax

exex(x1)2x3,x1，则g(x)20恒成立，令g(x)xx2

所以g(x)在[1,)上单调递增，所以g(x)min

ex。g(1)e1.若a2x3恒成立，则ae1（最值原理）x