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2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若，则的值为（）．
（A）（B）（C）（D）
解： 由题设得．
代数式变形，同除b
2．若实数a，b满足（A）a解．C，则a的取值范围是（）．
或 a≥4（D）
≤a≤4（B）a4（C）a≤因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4．
方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=则AD边的长为（）．（A）（C）（B）（D），BC=，CD＝，解：D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE=AE=于是 EF＝4＋，CF＝．，DF＝2，过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法
＝．
4．在一列数
……中，已知，且当k≥2时，（取整符号（）．
(A)1(B)2(C)3(D)4 解：B 表示不超过实数的最大整数，例如，），则
等于由和，……，可得，，因为2010=4×502+2，所以高斯函数；找规律。
=2．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点
P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．
（A）（2010，2）（B）（2010，（C）（2012，））（D）（0，2）
解：B由已知可以得到，点记，其中，的坐标分别为（2，0），（2，．）．
根据对称关系，依次可以求得：，令，同样可以求得，点，的坐标为（）．，），即
（．），由于2010=4502+2，所以点
二、填空题 6．已知a＝ 解：0的坐标为（2010，－1，则2a＋7a－2a－12 的值等于 ．
由已知得(a＋1)＝5，所以a＋2a＝4，于是
2a＋7a－2a－12＝2a＋4a＋3a－2a－12＝3a＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①
32322
222，②
由①②，得
． ③
（分）．，所以，x=30． 故
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
解：
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则
解得 ,故所求直线的函数表达式为．
9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ．
解：
．
． 见题图，设因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以
又因为 FC＝DC＝AB，所以 即，解得，或（舍去）．
又Rt△∽Rt△，所以，即=．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值，则正整数的最小值为 ．
解： 因为为的倍数，所以的最小值，其中由于表示的最小公倍数．，因此满足
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）的正整数的最小值为．
满足
满足△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆求证：
．
证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以.…………（20分）
12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有
解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．
因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得 …………（10分）
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（设抛物线因为∠COD＝∠BOD＝，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.，0）.（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，所以∠COB=
.（i）将△中点，点延长绕点O顺时针旋转）.=，得到△.这时，点(，2)是CO的的坐标为（4，到点，使得，这时点（8，）是符合条件的点.（1，）；延长
到（ii）作△点，使得＝关于x轴的对称图形△，这时点E２（2，），或（2，得到点）是符合条件的点．）.…………（20分）所以，点 的坐标是（8，13．求满足．解：由题设得所以（1）若的所有素数p和正整数m.，由于p是素数，故，令，或
.……（5分），，k是正整数，于是故，从而.所以（2）若当时，有
解得，令
…………（10分），k是正整数.，故 由于，从而，或2.是奇数，所以，从而
.于是这不可能.当时，时，，无正整数解.；当，无正整数解；当综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，，…，（即1991）满足题设条件.…………（5分）
另一方面，设这n个数中的任意4个数
是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于，因为，所以
.，因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）设由所以，i=1，2，3，…，n.，得，即，≥11.…………（15分）
≤故≤60.所以，n≤61.，综上所述，n的最大值为61.…………（20分）
（64至91为荆州市全国三等奖至一等奖）
