反比例函数与几何综合.题库学生版_反比例函数综合试题

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反比例函数与几何的综合题

一、反比例函数的定义

函数y（k为常数，k0）叫做反比例函数，其k中叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． kx

二、反比例函数的图象

反比例函数y（k为常数，k0）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．

反比例函数y kxkk与y（k0）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称． xx

三、反比例函数的性质

反比例函数yk（k为常数，k0）的图象是双曲线； x当k0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；

当k0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

注意：

⑴反比例函数yk（k0）的取值范围是x0．因此，x①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，k的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小． x这是由于x0，即x0或x0的缘故．

如果笼统地叙述为k0时，y随x的增大而增大就是错误的．

⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但如当k0时，双曲线y画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．

四、反比例函数解析式的求法

反比例函数的解析式y(k0)中，只有一个系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．

kx

五、比例系数k的几何意义

ky，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组k0，图象上一点Px，x成一个矩形，矩形的面积Sxyxyk.过反比例函数y

例题精讲

一、反比例函数与几何综合【例1】 已知点(1，3)在函数yk(x0)的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线xBD的中点，函数yk(x0)的图像经过A、E两点，若ABD45，求E点的坐标.xyAEOBDCx

【例2】 如图，点A(m，m1)，B(m3，m1)都在反比例函数yk的图象上． x（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

yABOx

【例3】 如图，POA11、P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y斜边OA1、A1A2、都在x轴上，求点A2的坐标.4(x0)的图像上，x

yP1P2OA1A2x

Py1，P2x2，y2，Pnxn，yn在函数y【例4】 如图所示，……，1x1，9x0的图象上，OPA11，xPA…，An1An2A1A2，P3A2A3，…，PnAn1An，…都是等腰直角三角形，斜边OA1，1A2，都在x轴上，则y1y2…yn______________．

yP1P2OA1。。。xA2

【例5】 如图，P是函数y1(x0)图象上一点，直线yx1交x轴于点A，交y轴于点B，2xPMOx轴于M，交AB于E，PNOy轴于N，交AB于F.求AFBE的值.yBNOPFMEAx

3，点B的坐【例6】 已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为33，0． 标为6，，（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OAB请直接写出A、B的对称点A、B的坐标；

（2）若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数y图像上，求a的值；

（3）若三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转度(090)．当=30时点B恰好落在反比例函数y63的xk的图像上，求k的值． xyAB－6Ox

【例7】 过原点作直线交双曲线yk(k0)于点A、C，过A、C分别作两坐标轴的平行线，围x成矩形

ABCD，如图所示．

⑴知矩形ABCD的面积等于8，求双曲线的解析式； ⑵若已知矩形ABCD的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因．

yDOCAxB

【例8】 如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，k(k0，x0)的图像上，点P(m，n)为其双曲线上的任一点，过点Px分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．

⑴求B点的坐标和k的值；⑵当S时，求P点坐标；⑶写出S关于m的函数关系式． 点B在函数yyCFO

【例9】 已知图中的曲线是反比例函数yBPSAEx

m5（m为常数）图象的一支． x⑴这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？

⑵若该函数的图象与正比例函数y2x的图象在第一象内限的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．

yOx

【例10】 两个反比例函数yk1k和y在第一象限内的图象如图所示，点P在y的图象上，xxx11PCx轴于点C，交y的图象于点A，PDy轴于点D，交y的图象于点B，当

xxk点P在y的图象上运动时，以下结论：

x①ODB与OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等；

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．

其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．

yy=BkxPAOCy=x1xD

【例11】 两个反比例函数yk1k和y2k1k20在第一象限内的图象如图所示，动点P xxkkk在y1的图象上，PCx轴于点C，交y2的图象于点A，PDy轴于点D，交y2xxx的图象于点B．

⑴求证：四边形PAOB的面积是定值； ⑵当PA2DB的值； 时，求PC3BPABP的面积分别记为SOAB、2，OAB，⑶若点P的坐标为5，SABP，设SSOABSABP．

①求k1的值；

②当k2为何值时，S有最大值，最大值为多少？

yBDy=k1xPAy=k2xOCx

【例12】 如图，点A、B在反比例函数yk(k0)的图象上，且点A、B的横坐标分别为a和x2a(a0)ACx轴，垂足为C，AOC的面积为2．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点(a，y1)，(2a，y2)也在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；（3）求AOB的面积．

yABOCx

【例13】 已知：在矩形AOBC中，OB4，OA3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图

所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y(k0)的图象与AC边交于点E．

（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；

（2）记SS△OEFS△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

ykxAECFOBx

【例14】 如图，反比例函数y的图象过矩形OABC的顶点B，OA、OC分别在x轴、y轴的正

8x半轴上，OA:OC2:1．

（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；

（2）若直线y2xm平分矩形OABC面积，求m的值．

yCOBAx

【例15】 若一次函数y2x-1和反比例函数yk的图象都经过点（1，1）． 2x（1）求反比例函数的解析式；

（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；

O，B，P为顶点的四边形是平（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A，行四边形，请你直接写出点P的坐标．

yCAOBEFx

m1，Bm3，m1都在反比例函数y【例16】 如图，点Am，k的图象上． xk的值；（1）求m，B，M，N为顶点的四边形是平行（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，四边形，试求直线MN的函数表达式．

yABOx，m)与B(2，m33)是反比例函数y【例17】 已知A(1（1）求k的值；

k图象上的两个点． xk图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点x为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 0)，则在反比例函数y（2）若点C(1，y1C-1-1A1Bx

【例18】 如图，已知反比例函数y122．①求的图象和一次函数ykx7的图象都经过点Pm，xB在这个一次函数图象上，顶点这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD的顶点A，C，D在这个反比例函数图象上，两底AD，BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a2，求a的值。

yDEOFACPxB

【例19】 反比例函数ykb，a1，bk两和一次函数y2x1，其中一次函数图像经过a，2x点．

（1）求反比例函数的解析式；

P为等腰三角形？若存（2）求出两函数的交点A的坐标．在x轴上是否存在点P，使AO在，把符合条件的点P的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

【例20】 如图，如果函数yx与y的图像交于A，B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，求BOC的面积.y4xACOBx

【例21】 如图，一次函数ykxb的图像与反比例函数ym，B(1，n)两点． 的图像交于A(21)x（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB的面积．

yAOBx

【例22】 正比例函数ykx(k0)与反比例函数y的图象相交于A、C两点，过A作ABx轴

1x于B，连结BC，若ABC的面积为S，求S．

yACOBx

【例23】 将直线yx向左平移1个单位长度后得到直线a，如图，直线a与反比例函数y的图象相交于A，与x轴相交于B，则OA2OB2_____________．

yaABOx1x0x

3，点B的坐【例24】 已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为33，0． 标为6，，（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OAB请直接写出A、B的对称点A、B的坐标；

（2）若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数y图像上，求a的值；

（3）若三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转度（090）．当=30时点B恰好落在反比例函数y63的xk的图像上，求k的值． xyAB－6Ox

【例25】 如图，直线ykxb与反比例函数yk′点B，与x轴交于点C，x0的图象相交于点A、x4，点B的横坐标为4． 其中点A的坐标为2，（1）试确定反比例函数的关系式；

（2）求AOC的面积．

yABCOx

【例26】 如图，在直角坐标系xOy中，一次函数yk1xb的图像与反比例函数yk2的图像交于xA1，4，B3，m两点．

（1）求一次函数的解析式；（2）求AOB的面积．

yA(1,4)B(3,m)Ox

【例27】 如图，已知RtABC的顶点A是一次函数yxm与反比例函数y内的交点，且SAOB3．

（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．

（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DEx轴于E，那么ODE的面积与AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．

m的图像在第一象限x

yAECDOBx

【例28】 如图所示，设反比例函数y的两支为C1，C2，正三角形PQR三个顶点位于此反比例函数的图象上．

Q，R不能都在反比例函数的同一支上．（1）求证：P，1xR的坐标．-1在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q，（2）设P1，yC1PQRxyQC1y=xOOPRxC2 C2