高考数学常考的100个基础知识点_高考数学基础知识点

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高考数学常考的100个基础知识点

广州市育才中学 邓军民 整理

1．德摩根公式CU（A∩B）= CuA∪CuB；CU(AB)CUACUB。

2．A∩B=AA∪B=BABC U BC U AA∩C U B=φC U A∪B=R 3．card（A∪B）=cardA+cardB－card（A∩B）4．二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）； ②顶点式f（x）=a（x－h）2+k（a≠0）； ③零点式f（x）=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）。5．设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2 那么

(x1x2)[f(x1)f(x2)]0f(x1)f(x2)0f（x）在[a，b]上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f（x）在[a，b]上是减函数。

x1x2(x1x2)[f(x1)f(x2)]0设函数y = f（x）在某个区间内可导，如果f ′（x）> 0，则f（x）为增函数；如果f ′（x）

6．函数y= f（x）的图象的对称性: ① 函数y= f（x）的图象关于直线x = a 对称 f（a+x）= f（a－x）f（2a－x）= f（x）。7．两个函数图象的对称性：

（1）函数y= f（x）与函数y= f（－x）的图象关于直线x = 0（即y轴）对称。（2）函数y = f（x）和y = fmn－1

（x）的图象关于直线y=x 对称。

8．分数指数幂a1nam（a>0，m，n∈N*，且n>1）。

分数指数幂amn1man（a>0，m，n∈N*，且n>1）。

9．logaN=bab=N（a>0，a≠1，N>0）

10．对数的换底公式

logaNlogmNnn，推论logamblogab

mlogmas1，n111．an− ≥（数列{ a n } 的前n 项的和为S n =a1+a2 +…+an）。

ss，n2n1n（注意此公式

ba

cos2cos2sin22cos2112sin2tan22tan。21tan17．三角函数的周期公式 函数y=sin（ωx+），x∈R 及函数y= cos（ωx+），x∈R（A，ω，为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T2；函数ytan(x)，xk，kZ（A，，2为常数，且A≠0，0）的周期T。（注意ω小于0的函数周期的求法）18．正弦定理abc2R。（学会利用后面的2R）sinAsinBsinC19．余弦定理a2=b2+c2−2bccosA；b2=c2+a2−2cacosB；c2=a2+b2−2abcosC。（注意其变形公式）20．面积定理（1）S111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）。222111absinCbcsinAcasinB。222（2）S21．三角形内角和定理

在△ABC 中，有

ABCC(AB)CAB2C22(AB)。222（很多与三角形有关的恒等变形或者纯粹解三角形的题目中会用到这些关系）22．平面两点间的距离公式

dA，B|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2（A（x1，y1），B（x2，y2））。

23．向量的平行与垂直

设a(x1，y1)，b(x2，y2)，且b≠0，则

a//bbax1y2x2y10ab(a0)ab0x1x2y1y20，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)是线段P1P2的分点，λ是实数，且24．线段的定比分公式 设P1(x1P1PPP2，则 

x1x2x1 yy1y21（这个公式很重要，不要记错！）

25．三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3，)。

33x'xhxx'h26．点的平移公式OP'OPPP'（图形F上的任意一点P（x，y）y'ykyy'k在平移后图形F'上的对应点为P'(x'，y')，且PP'的坐标为（h，k））。

（要注意区别新坐标、旧坐标，区别新方程和旧方程，不要混淆，解答题务必要体现以上公式的使用过程，关键步骤不要省）27．常用不等式：

（1）a，b∈R⇒a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b 时取“=”号）。（2）a，b∈R+

abab（当且仅当a=b时取“=”号）。2（3）a3+b3+c3≥3abc（a>0，b>0，c>0）。

（4）柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，a，b，c，dR。（建议：了解一下，尝试用向量数量积的方法证明之）（5）|a||b||ab||a||b| 28．极值定理 已知x，y 都是正数，则有

（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时和x+y有最小值2p；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时积xy 有最大值s2。

29．一元二次不等式ax2 +bx+c >0（或0），如果a与ax2 +bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2 + bx + c 异号，则其解集在两根之间。简言之：同号两根之外，异号两根之间。

x1xx2(xx1)0(x1x2)；

xx1，或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)

（这类问题一般可以借助于韦达定理或者结合图象特点寻找约束条件就可以解决问题）30．含有绝对值的不等式当a> 0时，有

|x|ax2a2axa |x|ax2a2xa或xa。

31．无理不等式

（1）

f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)g(x)（2）f(x)0f(x)0 f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0 f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（3）32．指数不等式与对数不等式（1）当a>1时，af(x)ag(x)f(x)0 f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)（2）当0

af(x)ag(x)f(x)0f(x)g(x)；logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

33．斜率公式 ky2y1(P，y1)、P2(x2，y2))1(x1x2x1（很多代数问题可以利用这个公式转化为几何问题，简化解题过程，这是数型结合思想的重要体现）

34．直线的四种方程

（1）点斜式

yy1k(xx1)（直线l过点P1(x1，y1)，且斜率为k）。（2）斜截式

y=kx+b（b为直线l在y轴上的截距）。

（注意：（1）截距不是距离；（2）过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征）

（3）两点式 yy1xx1，y1)、P2(x2，y2)（x1x2））。(y1y2)（P1(x1y2y1x2x1（4）一般式Ax+By+C =0（其中A、B不同时为0）。35．两条直线的平行和垂直

（1）若l1：yk1xb1，l2：yk2xb2 ①l1//l2k1k2，b1b2； ②l1⊥l2k1k21

（2）若l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，且A1、A2、B1、B2都不为零，①l1//l2A1B1C1； A2B2C2②l1⊥l2A1A2B1B20；

36．夹角公式 tan|k2k1|。（l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，k1k21）

1k2k1。2（要区别于直线a到直线b的角的求解公式）。直线l1⊥l2时，直线l1与l2的夹角是

37．点到直线的距离 d|Ax0By0C|AB22（点P（x0，y0），直线l：AxByC0）。

38．圆的四种方程

（1）圆的标准方程

(xa)2(yb)2r2

（2）圆的一般方程

x2y2DxEyF0(D2E24F0)

（3）圆的参数方程

xarcos

ybrsin（4）圆的直径式方程

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（圆的直径的端点是A（x1，y1）、B（x2，y2））。（可利用向量垂直理解之）

39．椭圆x2a2xacos的参数方程是。1(ab0)2ybsinby2（圆和椭圆的参数方程一定要过关）

a2a240．椭圆221(ab0)焦半径公式|PF1|e(x)，|PF2|e(x)。

ccab（自己还可以适当化简）x2y241．双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦半径公式

a2a2|PF1||e(x)|，|PF2||e(x)|。

cc（点p在左支或者右支的时候，上面的公式都可以去绝对值符号的，作题时自己灵活处理）

2y042．抛物线y=2px上的动点可设为P(，y0)或P（2pt2，2pt）或P（x，y），其中y22px。

2p2（强烈建议理解：以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切）

b24acb243．二次函数yaxbxca(x)(a0)的图像是抛物线：

2a4a2b4acb2（1）顶点坐标为（）；，2a4a44．直线与圆锥曲线相交的弦长公式

|AB|(x1x2)2(y1y2)2或

|AB|(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2

（注意和韦达定理结合使用）

（弦端点A（x1，y1），B（x2，y2），由方程ykxb2消去y得到axbxc0，△>0，F(x，y)0α为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，以上化简思路再结合韦达定理使用，是很多圆锥曲线解答题的常用解题技巧）

45．圆锥曲线的对称问题：曲线F（x，y）=0关于点P（x0，y0）成中心对称的曲线是F(2x0x，2y0y)0。

（可以利用重点坐标公式推导之）。

46．对于一般的二次曲线Ax2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x，用y0y代y2，用

2x0yxy0xxyy代入xy，用0代x，用0代入y即得方程 222x0yxy0xxyyCy0yD0E0F0，曲线的切线、切点弦方程均222Ax0xB可由此方程得到。

47．共线向量定理

对空间任意两个向量a、b（b≠0），a∥b ⇔ 存在实数λ使a=λb。

48．对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC，则四点P、A、B、C是共面⇔x+y+z=1。

49．空间两个向量的夹角公式cos=

a1b1a2b2a3b32a12a22a3b122b22b3（a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)）。

ABm50．直线AB 与平面所成角arcsin（m为平面α的法向量）。|OP||m|51．二面角α−l−β的平面角arccos法向量）。

|m||n|或arccos（m，n为平面α，β的|m||n|mnmn52．设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为。则coscos1cos2。53．空间两点间的距离公式

若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则

dA，B|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2。

|CDn|54．异面直线间的距离 d（l1，l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是

|n|l1，l2上任一点，d为l1，l2间的距离）。

|ABn|55．点B到平面α的距离d（n为平面α的法向量，AB是面α的斜线，A∈α）。

|n|56．面积射影定理SS' cos（平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在平面所成锐二面角的为θ）。57．球的半径是R，则其体积是V43R，其表面积是S4R2。358．分类计数原理（加法原理）

Nm1m2mn。

59．分步计数原理（乘法原理）

Nm1m2mn。

m60．排列数公式

Ann(n1)(nm1)n!。（n，m∈N*，且mn）。

(nm)!mmm161．排列恒等式

（1）An；（2）An(nm1)Annmmm1An1；（3）AnnAn1；nmnn1nmmm1（4）nAnAn1An；（5）An1AnmAn。（建立了解，会用排列数公式推导之）

mAnmAmm62．组合数公式Cnn(n1)(nm1)n!(n，mN*，且mn)。

12mm!(nm)!63．组合数的两个性质

mnmmm1m（1）Cn；（2）CnCnCnCn1

64．组合恒等式

m（1）Cnnnm1m1nm1nmmmrCn；（2）CnCn1；（3）CnCn1；（4）Cn2n；mnmmr0rrrr1（5）CrrCr1Cr2CnCn1。（建议了解，会用组合数公式推导之）

mm65．排列数与组合数的关系是：An m!Cn0n1n12n22rnrrnn66．二项式定理

(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb；

rnrr二项展开式的通项公式：Tr1Cnab（r=0，1，2„，n）。

（注意通项的下标）

67．等可能性事件的概率P(A)m。n68．互斥事件A，B分别发生的概率的和P（A＋B）=P（A）＋P（B）。69．n个互斥事件分别发生的概率的和

P（A1＋A2＋„＋An）=P（A1）＋P（A2）＋„＋P（An）。

70．独立事件A，B同时发生的概率P（A·B）= P（A）·P（B）。

71．n个独立事件同时发生的概率P（A1·A2·„·An）=P（A1）·P（A2）·„·P（An）。

kk72．n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn(k)CnP(1P)nk。

73．离散型随机变量的分布列的两个性质：

（1）Pi0（i=1，2，„）；（2）P1P21。74．数学期望Ex1P1x2P2xnPn 75．数学期望的性质：（1）E（aξ+b）=aE（ξ）+b；（2）若ξ～B（n，p），则Eξ= np。

（要将n 次独立重复实验有k 次发生这样一个问题与二项分布联系起来）76．方差D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2Pn（还有一个变形公式可以求方差，你记得吗？在下面会有的）

77．标准差D。（了解，防止你看到标准差的符号不认识，呵呵）78．方差的性质

（1）D()E2(E)2；（2）D(ab)a2D；

（3）若~B(n，p)，则Dnp(1p)。

(x)226279．正态分布密度函数f(x)126e)式中的实数，（0）是参，x(，数，分别表示个体的平均数与标准差。（了解即可）

80．标准正态分布密度函数f(x)126ex22，x(，)。（了解即可，但是要注意其概率分布图的特点，包括阴影部分面积所表示的含义，考的概率不大，但是要防止考小题。）81．对于N（μ，σ2），取值小于x的概率F(x)x。



P(x1x0x2)P(xx2)P(xx1)F(x2)F(x1)

xxm（个人觉得：要理解之，考的概率不大，但是还是要防止出小题。）21。82．特殊数列的极限

|q|10nq1（1）limq1

n不存在|q|1或q10(kt)aknkak1nk1a0at(kt)（2）lim

nbntbnt1btt10bk(kt)不存在a1(1qn)a（3）Slim1（S无穷等比数列{a1qn1}(|q|1)的和）。

n1q1q84．函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：

limh(x)a（常数），则limf(x)a。（1）g(x)f(x)h(x)；（2）limg(x)a，xx0xx0xx0本定理对于单侧极限和x→∞的情况仍然成立。（个人觉得：有必要了解一下，防止出新题）85．两个重要的极限

sinx11；（2）lim1e(e2.718281845（1）lim)。

x0xxx（个人觉得需要了解一下，防止出新题。看不懂也不要有压力，这是超范围的。）86．f（x）在x0处的导数（或变化率或微商）

xf'(x0)y'|xx0limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x

87．瞬时速度

s'(t)lims(tt)s(t)slim。

t0tt0t88．瞬时加速度

av'(t)limv(tt)v(t)vlim。（注意这个物理意义）

t0tt0tdydfyf(xx)f(x)limlim。

x0x0dxdxxx89．f(x)在（a，b）的导数f'(x)y'90．函数y = f（x）在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f'(x0)，相应的切线方程是yy0f'(x0)(xx0)。91．几种常见函数的导数（1）C'0（C为常数）（2）(xn)'nxn1(nQ)（3）(sinx)'cosx

（4）(cosx)'sinx

（5）(lnx)'11xe；(loga)'loga。xx（6）(ex)'ex;(ax)'axlna。92．复合函数的求导法则

设函数u(x)在点x处有导数ux''(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有导数yu'f'(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且yx'yu'ux'，或写作fx'((x))f'(u)'(x)。

93．可导函数y = f（x）的微分dy = f'（x）dx。

94．注意构造新的函数，再利用导数的有关性质来解题的解题技巧。95．a+bi=c+di⇔a=c，b=d。（a，b，c，d∈R）

96．复数z=a+bi的模：|z|=|a+bi|=a2b2。97．复数的四则运算法则

（1）（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；（2）（a+bi）－（c+di）=（a－c）+（b－d）i；（3）（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i；（4）(abi)(cdi)acbdcd22bcadcd22i（c+di≠0）

98．注意共轭复数的概念

99．注意实部和虚部的概念（虚部有没有包括i呢？）

100．注意 13i极其共轭复数间的运算关系（具体见教材）22