感受“模型”的力量——“鸡兔同笼”教学新解由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“鸡兔同笼问题新解”。
感受“模型”的力量——“鸡兔同笼”教学新解
许卫兵/执教
朱乐平/评析
【备课思考】
“鸡兔同笼”作为一种经典名题，在国标新教材中，不少版本都有编排。比如，北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中用6个页码详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。除此之外，还有名师在二年级用“画图法”、在六年级用“二元一次方程组”来生动地演绎它。
近来，我在思考如下几个教学疑问时，也将目光聚焦到“鸡兔同笼”：一是学生对各门学科的学习方法有着一定的共性，但对数学的学习是否有着“属于数学”的方法？这种方法是不是应该在各年级的教学中有所渗透，到高年级有所明示，作为小学向初中在学习上的一种过渡？二是尽管“鸡兔同笼”各年级都可以作为教学内容，且有着不同的目标指向，但对于六年级而言，是否可以用来让学生“从已有的经验出发，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程”，从而更好地认识数学？好多小学生升入初中后学习数学时表现出极大的不适应，是否与他们缺乏必要的“模型”意识和举一反三的能力有关？三是郑毓信教授在《数学教育哲学》中说：“数学是模式的科学”，“数学教学的基本任务就在于帮助学习者逐步建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与欣赏模式的能力”，我们怎样将这样的理性论断转化为可感的教学行为，让学生在学习中感受到一些数学问题所具有的“模型”的力量呢？带着这样的思考，我在六年级进行了“鸡兔同笼”数学活动课的教学尝试。
【教学过程】
一、揭示课题。
师：同学们请看屏幕，今天我们要研究——（生齐）鸡兔同笼。（板书：鸡兔同笼）。知道“鸡兔同笼”是什么意思吗？
生1：就是把鸡和兔关在一个笼子里。
生2：鸡兔同笼是一种数学题目，就是告诉我们鸡和兔的头共有几只，脚共有几只，求鸡兔各有几只。
师：是的，鸡兔同笼是一种数学问题（板书：问题）。早在1500多年以前，我国的古典著作《孙子算经》中就记载着这样的数学趣题。
（出示：今有鸡兔同笼，上有8头，下有22足。问鸡有几只？兔有几只？）师：题目中告诉了我们哪些信息？
生：鸡和兔共有8个头，22只脚。
生：还有两个条件：鸡有两只脚，兔有四只脚。
师：很好，你还看到隐藏着的两个条件。大家会解答这个问题吗？动笔试一试吧。不能解决的，也可以同桌先交流交流。
二、尝试探究。
1．自主练习，展示做法。
生1：我先用22－8×2=6（只），我是想假设全部是鸡的话，8只鸡就有16只脚，而22减去16还多出6只。也就是有些兔也当成鸡了，一只兔当成一只鸡就会少算2只脚，再用6÷2=3，就是兔有3只，鸡有8－3=5只。
师：大家听懂了吗？他是把鸡和兔全部假设成鸡了，这种方法（板书：方法）很不错。
生2：我是全部假设成兔，总共有8×4－22=10（只）脚，一只鸡当成一只兔就会多算2只脚，再用10÷2=5（只），就是鸡有5只，兔有8－5=3只。
师：这两位同学的方法有什么相同之处吗？
生：都是用的假设法。（板书：假设）
师：还有和他们的解法不一样的吗？
（学生还提出用方程、画图等方法解决，教师一一加以评价并让学生比较不同的解法，说一说自己喜欢哪种方法）
生1：我喜欢方程解法，因为方程顺着题目的意思想起来比较方便。
生2：我喜欢画图的方法，因为画图既有趣又方便，还特别好懂。
师：这些解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，既有优长也有缺陷。你们有没有发现，画图的方法、方程的方法和刚才这两位同学使用的假设法有共同的地方吗？
生：都含有“假设”的意思。
师：看得很准。“假设法”确实是解决“鸡兔同笼”问题的典型思路。
2．资料介绍，沟通联系。师：你想知道古人是如何解答这个问题的吗？
（屏幕显示：足数÷2－头数=兔数
头数－兔数=鸡数）
师：看起来很复杂的“鸡兔同笼”问题，古人解起来就这么简单啊。咱们用这种方法口算一下上面这道题，结果和我们刚才算的一样吗？
学生口算，教师板书：22÷2－8=3（只）„„兔
8－3=5（只）„„鸡
师：老祖宗的方法真是太简单了，其中的道理你能讲清楚吗？
（学生多人讲，但均说不清楚）
师：这个方法看起来很简单，要理解它还真不容易呢。其实对这个问题，不但咱们中国人有研究，外国人对它也有关注，在匈牙利出生的美国教授波利亚，他讲了一个很有趣的故事解释了这种解法的道理。
（课件演示，教师相机解释）：草地上有一群鸡兔在玩耍，突然，鸡对兔说：“我们的本领可大了，可以做金鸡独立”。说着每只鸡就抬起一只脚，只用一只脚站着。兔子们见了，也不甘示弱：“这有什么了不起，看看我们兔子作揖。”说完，每只兔就把两只前脚提起来，只留下两只后脚站着。哈哈，这下有趣了，原来的鸡都变成了“独角鸡”，原来的兔都变成了“双脚兔”。看着图示，你发现什么了？
生1：现在草地上鸡和兔的头数没变，站立的脚数只剩下原来的一半，也就是“足数÷2”。
生2：现在草地的脚数再和头数比，只有一只兔子多出1只脚，所以，足数÷2-头数=兔的只数。
师：都看明白了吗？你们觉得我们老祖宗的方法怎么样？
生：方法很简单，蕴含的道理很深刻！
师：不过，大家也要小心哦，这种看起来很简单的方法也是有局限的。
三、责疑引思。
师：通过刚才的学习，鸡兔同笼问题都会解决吗，有没有什么疑问？
生（都摇头）：没有！
师：老师有一个疑问，在生活中我们很少看到有人把鸡和兔放在一个笼子里养吧，就是放在一起养，也没谁去数头数脚做这种无聊的事。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究去的，一千多年过去了，还作为宝物似的流传到今？“鸡兔同笼”有什么独特的魅力吗？”（显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）
（学生回答不清，老师提议带着这个问题来继续进行下面的研究）
四、初步建模。
师：据资料显示，日本人也研究鸡兔同笼，称它叫“龟鹤问题”。
（出示：龟鹤同游，共有40个头，112只脚，求龟、鹤各有多少只？）
思考：日本人说的“龟、鹤”和我们说的“鸡、兔”有联系吗？
生：龟和兔一样的，有四只脚。鹤和鸡一样的，都是两只脚。
师：那这道“龟鹤同游”问题会解决？
（学生试做后，交流算法）
古人法：112÷2－40=16（只）„„龟
40－16=24（只）„„鹤
假设法：（112－40×2）÷2=16（只）„„龟
40－16=24（只）„„鹤
比较后得出：“龟鹤同游”和“鸡兔同笼”是同一类型的数学问题。
师：老师昨天晚上还看到这样一首儿歌。
（出示：一队猎人一队狗，两列并成一队走。数头一共五十五，数脚共有一百九。）
师：我们研究了鸡兔同笼、龟鹤同游，也来给这首儿歌取个名字？
生：人狗同行。
师：看了“人狗同行”的儿歌，和“鸡兔同笼”比较，你有什么话想说?
生：我觉得它和鸡兔同笼的问题仍然是一样的。猎人相当于鸡，狗相当于兔。
师：他的这个理解可以吗？
生：可以。
师：虽然把猎人看作鸡有些不雅，但是从研究的角度大家确实是找到了他们数量上的联系。显示：猎人——鸡（两只脚）
狗——兔（四只脚）
师：回想一下，从“鸡兔同笼”到“龟鹤同游”，再到“人狗同行”，你发现了什么呢？（再次显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）
生1：鸡兔同笼是多方面的。
生2：“鸡兔同笼”可以表示好多种和“鸡兔同笼”相同的情况。
师：是啊，鸡兔同笼不只是代表着鸡兔同笼的问题（老师在课题上加上双引号），它就好像是一个模型！（板书：模型）我们可以找到很多它的影子。想想看，鸡兔同笼问题还可以变化成什么问题？
生1：鸭猫问题。
（大家都笑起来）
生2：猪鹅问题。
生3：马鹰问题。
师：鸡、鸭行不行？
生：不行的，它们都是两条腿，数量没有区别。
五、强化体验。
1．拓展。
师：这个信封里放的是5元和2元的钞票，共8张，34元，你能算出信封里5元和2元的钞票各有多少张吗？
（学生尝试解答后交流用假设法和古人算法的情况，发现古人算法不好用了。教师引导思考揭示：古人算法只能用于2腿、4腿的“鸡兔问题”。回应前面提示的：古人的方法也是有局限的）
师：这个问题和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？
生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的2元的钞票就相当于鸡有2只脚，而5元的钞票就相当于兔，是五只脚的“怪兔”！
师：（故作神秘状）是这个意思？
（课件动态演示：将2元钞票换成鸡，将5元钞票换成五只脚的“怪兔”）
师：同学们真是联想丰富，把兔子给“整成”了五条腿。看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔。你能把这个题目改成“鸡兔同笼”的数学问题吗？
（显示：鸡有2脚，怪兔有5脚。共8头，34脚。鸡有多少只？怪兔有多少只？）
看来“鸡兔同笼”中的“鸡”和“兔”也可以转换成好多脚的“怪鸡”和“怪兔”。能联系实际举个例子吗？
„„
2．应用。
师：让我们带上这样的眼光再到身边去看一看吧。
①（课件出示：工地运来长度分别为8米和5米的水管25根，用它们一共铺设了173米长的管道。运来两种水管各多少根？）
学生抽象变题：怪鸡5脚，怪兔8脚，共25头，173脚。问：怪鸡有多少只？怪兔有多少只？
②（课件出示：刘老师带着41名队员去海陵公园划船，共租了10条船，恰好坐满，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船和小船各租了几条？）
学生抽象变题：怪鸡4脚，怪兔6脚，共10头，42脚。问：怪鸡？只，怪兔？只。
选做一题，全班讲评，形成全课板书。
六、总结全课。
师：经过一节课的研究，现在再来回答这个问题（第三次显示“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？），你有什么想说的吗？
生1：我觉得鸡兔同笼问题的解法可以应用到很多问题中去。
生2：鸡兔同笼只是一种问题的模型，好多生活中的问题都可以看成是变化的鸡兔同笼。
师：（对着板书）从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么你必将会走向数学学习的自由王国。
