专题六 二次函数的最值问题_二次函数的最值专题

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专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

专题六 二次函数的最值问题 【要点回顾】

1．二次函数yaxbxc(a0)的最值．

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况 24acb2b当a0时，函数在x处取得最小值，无最大值；

4a2a4acb2b当a0时，函数在x处取得最大值，无最小值．

4a2a2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：yaxbxc在mxn（其中mn）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：xx0； 第二步：讨论：

[1]若a0时求最小值或a0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0m，即对称轴在mxn的左侧；

②对称轴mx0n，即对称轴在mxn的内部；

③对称轴大于n即x0n，即对称轴在mxn的右侧。[2] 若a0时求最大值或a0时求最小值，需分两种情况讨论： 2mn，即对称轴在mxn的中点的左侧； 2mn②对称轴x0，即对称轴在mxn的中点的右侧；

2①对称轴x0说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x3x5；（2）yx3x4．22

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例2当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

例3当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

2125xx的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

125解：函数yxx的对称轴为x1．画出其草图．

22125(1)当对称轴在所给范围左侧．即t1时：当xt时，ymintt；

22125(2)当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时： 当x1时，ymin113；

22(3)当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：当xt1

151ymin(t1)2(t1)t23．

222例4当txt1时，求函数y

122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t122例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线yx(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．2

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2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

4．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

5．求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

222专题六 二次函数的最值问题 参考答案

22例1分析：由于函数y2x3x5和yx3x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y2x23x5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y2x23x5有最低点，即函数有最小值．

334949 因为y2x23x5=2(x)2，所以当x时，函数y2x23x5有最小值是．

48482（2）因为二次函数yx3x4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线yx23x4有最高点，即函数有最大值．

因为yx23x4=(x2532253，所以当x时，函数yx23x4有最大值．)4242例2解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

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例3解：作出函数yx(2x)x2x在x0内的图象．

可以看出：当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1． 例5解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，那么m件的销售利润为ym(x30)，又m1623x． y(x30)(1623x)3x2252x4860,30x54

(2)由(1)知对称轴为x42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x42时，ymax3422252424860432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】

l22311．4 14或2，2．m 3．a2,b2． 4．a或a1．

16245．当t0时，ymax22t，此时x1；当t0时，ymax22t，此时x1．