高中数学第一章统计案例1.2回归分析与独立性检验的异同素材_高中数学回归分析专题

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回归分析与独立性检验的异同

回归分析与独立性检验都是统计中的重要概念，都可以借助已知对未知进行判断；但两者区别还是很大的，下面通过一例进行比较说明：

例题：为了对中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学、物理分数对应如下表：

（1）若80分以上为“优”，否则为“一般”，试判断数学“优”与物理“优”是否有关？

（2）用变量y与x的相关系数说明物理与数学的线性相关程度，并用相关指数判断所求回归模型的效果；

解析：（1）根据题中条件，对两变量进行分类，先看数学成绩“优”的有“4”人，“一般”的有“4”人；物理“优”的有“6”人，“一般”的有“2”人；

于是，列联表如下：

16(2446)21.0682.706，显假设数学“优”与物理“优”无关，则K881262然，没有充分的证据显示数学“优”与物理“优”有关；

（2）结合数据，借助计算器容易求出x77.5，y85，z81，(xx)ii1n2 1102，(yi1niniy)456，(ziz)550，(xix)(yiy)694，22i1i1nn(xx)(zz)ii1

747，于是

变量y与x的相关系数r(xi1nix)(yiy)2(xi1nix)(yi1niy)26940.979可见

1102456变量y与x的线性相关性很好；

先求变量y与x的回归方程

由于b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n26940.6298，aybx36.19 1102得回归方程为y0.6298x36.19；

此时(yiyi)27，R21i1n(y(yi1i1nniyi)y)270.98； 456i由此可以看出，变量y与x的回归模型的回归效果好；

评析：（1）从第一问的求解结果可以看出：数学“优”与物理“优”没有明显的关系；也就是数学“优”的人不一定物理“优”，当然，物理“优”的人也不一定数学“优”；它告诉我们这两科不能由一科是否“优”来推知另一科是否“优”；

（2）数学成绩与物理成绩没有关系吗？不是！第二问的求解结果告诉我们，这两科的成绩有关且具有很强的线性关系；通过线性回归方程，在已知一科成绩的前提下，可以预测另一科的成绩；由y0.6298x36.19，当x80时，y0.62988036.1986.57；从这个结果上看，只要是数学成绩不低于80分时，物理成绩就不低于86分。也就是说：数学“优”的人，物理一定“优”；反过来，不能肯定。

（3）两个结果看似有矛盾，其实没有；只是独立性检验是“粗线条的”，它只能回答是否有关。当两者不能互推时，就可能产生无关的结论。而回归分析是“细微”的，它不仅回答是否有关，更重要的是它可以告诉你有关的程度，甚至通过一个值就能预测另一个值。

（4）无论是“粗线条的”还是“细微”的，其结论的适用都有局限性，最理想的就是仅对样本而言，稍微扩大一点，对样本所存在的总体，可信度都会大打折扣；对“样本所存在的总体”以外的个体或其它总体可能一点都不适用。毕竟“预测”、与“判断”不用代表

事实。