函数的间断点分类_函数的间断点及其分类

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怎么理解函数的间断点及其分类？

[答] 函数的间断点是以否定连续性来定义的，要讨论函数f(x)在点x=x0 的连续性，主要是讨论极限limfx。按现行高等数学教材的定义，只有当f(x)在xx0

x0的邻域或某个去心邻域Ux0,内有定义时，才可能讨论此极限，这时也说此



极限是有意义的（注意：极限是否有意义与极限是否存在是两码事）。如果极限没有意义，说函数f(x)在点x0是连续或间断，也就没有意义。此外，由于我们

定义了单侧极限，因此，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，我们也可说该点是函数的连续点或间断点。

间断点的分类也按极限limfx的情况来分：左、右极限都存在的间断点称xx0

第一类间断点（包括可去间断点和跳跃间断点两种）左右极限至少有一个不存在的间断点称为 第二类间断点（包括无穷间断点，振荡间断点，以及其它有名称或无名称的间断点）。此外，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，也按单侧极限存在与否来对间断点分类，例如

x=0是f1x的第二类间断点。因此f100，f1000，f1xe，所以x=0不是第一类间断点，也不是无穷间断点。1x

f2xlnx，x=0是f2x的第二类（无穷）间断点（虽然在x=0只有单侧极限）；x=-1即不是f2x的间断点，也不是连续点。

f3xx，x=0是f3x的连续点，因为limf3xf30，即f3x在x=0x00

右连续，而在x

f4xsinx

x，x=0是f4x的第一类（可去）间断点，因为右极限存在，而左极限无意义。