指数与指数函数图形以及性质(内含答案)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“指数函数图象与性质”。
专题四
指数函数
了解层次的内容：理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 重点掌握的内容：1．分数指数幂的概念及其运算性质；
2．指数函数的图象和性质.常考知识部分：指数函数的概念、图象、性质
一、知识梳理
1．整数指数幂的概念及运算性质(1)整数指数幂的概念
(2)运算法则
①；
②；
③；
④.2．根式的概念和运算法则(1)n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.(2)根式的意义与运算法则
3．分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
4．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.注意：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.5．指数函数(1)定义：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.(2)图象及性质： y=ax
01时图象
图象
性质
①定义域R，值域（0，+∞）
②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数
⑤x1 x>0时，00时，ax>1
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
规律方法指导
1．指数幂的一般运算步骤：
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.2．指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若；；；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
二、精讲精练 类型
一、指数运算、化简、求值
1．计算：
(1)；
(2)
(3)；
解：(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；
注意：[1]运算顺序(能否应用公式)；
[2]指数为负先化正；
[3]根式化为分数指数幂.【变式1】计算下列各式：
(1)；
(2).解：(1)原式=；
(2)原式.2．化简下列各式.(1)；
(2)；
(3).思路点拨：
(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；
(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；
(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.解：(1)
(2)
(3)
【变式1】化简：
.解：原式=.注意：当n为偶数时，.3．已知，求的值.解：因为，所以，所以
故当 a>b时，=a-b.当a=b时，=0.当a
总结升华：本题在求解过程中要注意：
①要对所求的式子先进行化简；
②等式=的灵活运用.【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.(2)已知x+y=12，xy=9，且x
解：
(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3
(2)
又∵ x+y=12，xy=9，∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.又 ∵ x
总结升华：
(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.(2)一般不采用分别把x，y，2x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2x+2-x，x+y及xy整体代入后再求值.类型
二、函数的定义域、值域
4．求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)
解：(1)函数的定义域为R(∵对一切xR，2x≠-1).∵，又∵ 2x>0，1+2x>1，∴，∴，∴，∴值域为(0，1).(2)定义域为R，∵ 2x>0，∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[).(3)定义域为R，∵|x|≥0，∴-|x|≤0，∴，∴ 值域为(0，1].(4)∵ ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵，∴，∴值域为[1，a)∪(a，+∞).总结升华：求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中不能遗漏.【变式1】求下列函数的定义域：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)R
(2)
需满足3-x≥0，即
(3)
为使得函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0
(4)a>1时，；0
总结升华：本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型
三、指数函数的单调性及其应用
5．(利用指数函数的单调性比较大小)判断下列各数的大小关系：
(1)1.7a与1.7a+1；(2)0.8-0.1与0.8-0.2；(3)(4)22.5，(2.5)0，(5)1.080.3与0.983.1(6)
解：
(1)1.7a
底数1.7>1，所以函数y=1.7x为单调增函数，又因为a
(2)0.8-0.11>0.983.1
(6)a>1时，0
总结升华：
(1)注意利用单调性解题的规范书写；
(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；
(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1).【变式1】比较大小：
(1)22.1与22.3
(2)3.53与3.23
(3)0.9-0.3与1.1-0.1
(4)0.90.3与0.70.4
(5).思路点拨：[1]辅助函数单调性； [2]数形结合； [3]搭桥——找一个中介值.解：
(1)22.1＜22.3
(2)3.53＞3.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x3，它为增函数.(3)由0.9-0.3，01，1.1>1，-0.11.1-0.1；
(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.90.3>0.70.4.(5)∵，又函数为减函数，∴，∵为增函数，时，y>1，.另解：幂函数为增函数，则有，(下略).6．求函数(x[-3，2])的单调区间，并求出它的值域.解：令，则，∵ x[-3，2]，∴，∴，∴ 值域为[，57]，再求单调区间.(1)即 即x[1，2]时，是单调减函数，是单调减函数，故是单调增函数.(2)即即x[-3，1]时，是单调减函数，是单调增函数，故是单调减函数，∴ 函数的单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1].总结升华：形如y=Aa2x+Bax+C(a>0，且a≠1)的函数若令ax=u，便有y=Au2+Bu+C，但应注意u>0.【变式1】求函数的值域及单调区间.思路点拨：[1]复合函数——分解为：u=-x2+3x-2，y=3u；
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.解：设u=-x2+3x-2，y=3u，其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增，u=-x2+3x-2在上单减，则在上单增，在上单减.又u=-x2+3x-2，的值域为.类型
五、指数函数的图象问题
11．为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）
A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
思路点拨：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．
解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选C．
总结升华：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．
12．已知函数f(x)=ax+b的图象过点(1，3)，且将其图象关于直线y=x翻折后图象过点(2，0)，求函数f(x)的解析式．
解：因为函数f(x)=ax+b的图象过点(1，3)，所以a+b=3
又因为其图象关于直线y=x翻折后图象过点(2，0)，所以函数f(x)=ax+b的图象过点(0，2)，得b=1
所以a=2
所以函数f(x)的解析式为y=2x+1.举一反三：
【变式1】（2011 四川文4）函数的图象关于直线对称的图象大致是（）
思路点拨：注意先将的图象向上移一个单位，得到的图象，所以的图象过定点．
解：图象过点，且单调递减，故它关于直线对称的图象过点且单调递减，选A． 基础达标
一、选择题：
1.化简，结果是（）
A.B.C.D.2.等于（）
A.B.C.D.3.若，且，则的值等于（）A.B.C.D.2 4.函数在R上是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.5.下列函数式中，满足的是()A.B.C.D.6.（2011 湖北理6）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，若，则（）
A.2
B.C.D.7.已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；
(5)中恒成立的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 8.函数是（）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数 9.函数的值域是（）
A.B.C.D.10.已知，则函数的图像必定不经过（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
11.是偶函数，且不恒等于零，则()
A.是奇函数
B.可能是奇函数，也可能是偶函数
C.是偶函数
D.不是奇函数，也不是偶函数
12.一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值
为（）
A.B.C.D.二、填空题：
13.（2011 广东广州）设函数若，则的取值范围是_________.14.函数的值域是_______________.15.函数的单调递减区间是_______________.16.若，则_______________.三、解答题：
17.设，解关于的不等式.18.已知，求的最小值与最大值.19.设，试确定的值，使为奇函数.20.已知函数，求其单调区间及值域.21.若函数的值域为，试确定的取值范围.22.已知函数，(1)判断函数的奇偶性；
(2)求该函数的值域；
(3)证明是上的增函数.答案与解析 基础达标
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C D D B C A D A A D
二、填空题
13.，当时，由可知，；当时，由可知，∴ 或.14.，令，∵，又∵为减函数，∴.15.，令，∵为增函数，∴的单调递减区间为.16.0，三、解答题：
17.∵，∴ 在上为减函数，∵，∴.18.，∵，∴.则当，即时，有最小值；当，即时，有最大值57.19.要使为奇函数，∵，∴需，∴，由，得，.20.令，则是关于的减函数，而是上的减函数，上的增函数，∴在上是增函数，而在上是减函数，又∵，∴的值域为.21.，依题意有
即，∴
由函数的单调性可得.22.（1）∵定义域为，且是奇函数；
（2）即的值域为；
（3）设，且，(∵分母大于零，且)
∴是上的增函数.
