立几大题参考学习_立几大题练习文数

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,E为D1C1的中点，如图所示。19.已知长方体AC1中，ADAB2,AA11（1）在所给的图中画出平面ABD； 1与平面B1EC的交线（不必说明理由）（2）证明：BD1//平面B1EC;

（3）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值。

18.如图，在多面体ABCD﹣EFG中，O是菱形ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形ABGF，ADEF都是矩形．

（1）证明：平面ACF⊥平面BDEG；

（2）若∠ABC=120°，AB=2，AF=3，求直线CG与AE所成角的余弦值．

【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角． 【分析】（Ⅰ）推导出AF⊥AB，AF⊥AD，从而AF⊥平面ABCD，进而BD⊥AF，又BD⊥AC，由此能证明平面ACF⊥平面BDEG．

（Ⅱ）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，平行于AF所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CG与AE所成角的余弦值． 【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵四边形ABGF，ADEF都是矩形，∴AF⊥AB，AF⊥AD，（1分）

又AB∩AD=A，且AB、AD⊂平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD．（2分）

又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AF．（3分）又∵AC，BD是菱形ABCD 的对角线，∴BD⊥AC．（4分）

∵AF，AC⊂平面ACF，AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACF，（5分）又∵BD⊂平面BDFG，∴平面ACF⊥平面BDEG．（6分）解：（Ⅱ）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，平行于AF所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系．（7分）∵ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=2，∴△BCD是等边三角形，OB=OD=1，∵AF=3，∴A，C，E，G的坐标分别为：

．（8分）

．（9分）

∴，（10分）

所以，（11分）

即直线CG与AE所成角的余弦值为．（12分）

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（1）求证：BD⊥平面AED；

（2）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题意及图可得，先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，结合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF两两垂直，因此可以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，设CB=1，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；

解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可证明出∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED；

（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（（，﹣，0），=（0，﹣1，1）

=0，•

=0，﹣，0），F（0，0，1），因此

=设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），则•所以x=由于y=z，取z=1，则=（，1，1），=（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，则cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为

解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于 CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG⊂平面FCG．

所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，因此CG=CB，又CB=CF，所以GF=故cos∠FGC=，=

CG，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法．

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；

（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质． 【分析】（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；

（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案． 【解答】（Ⅰ）证明：连接AF，则，222又AD=2，∴DF+AF=AD，∴DF⊥AF（2分）又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°． ∴PA=AB=1（9分）取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角 ∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴∵∴，，且∠FMN=90°，∴

【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，二面角大小度量．考查空间想象、推理论证、计算能力．

19.如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的余弦值．

答案：

19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，A1AB45，四边形BCC1B1为矩形，若AC5,AB4,BC3

（1）求证：AB1A1BC；（2）求二面角CAA1B的余弦值

18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求二面角D﹣CB1﹣B的平面角的正切值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（I）根据所给的直三棱柱的条件，写出勾股定理得到两条线段垂直，根据侧棱与底面垂直，得到一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，得到线面垂直，进而得到线线垂直．

（II）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出向量，设出平面的法向量，求出法向量，根据两个向量的夹角（或其补角）的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大小． 【解答】解：（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，222∵AC+BC=AB ∴AC⊥BC，又 AC⊥C1C，且BC∩C1C=C ∴AC⊥平面BCC1，又BC1⊂平面BCC1 ∴AC⊥BC1

（II）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系 ∵AC=3，BC=4，AA1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），B1（0，4，4），∴，，平面CBB1C1的法向量设平面DB1C的法向量则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角D﹣CB1﹣B的大小 则由

令x0=4，则y0=﹣3，z0=3 ∴…（10分），则∵二面角D﹣B1C﹣B是锐二面角 ∴二面角D﹣B1C﹣B的正切值为

【点评】本题考查空间中直线与平面之间的垂直关系，用空间向量求解面与面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．

18.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的大小．

【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】证明题；综合题；转化思想． 【分析】法一：（Ⅰ）先证明直线AB1垂直平面A1BD内的两条相交直线BD、A1B，即可证明AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，说明∠AFG为二面A﹣A1B﹣B的平面角，然后求二面角A﹣A1D﹣B的大小．

法二：取BC中点O，连接AO，以0为原点，向建立空间直角坐标系，求出，的方向为x、y、z轴的正方即可证明AB1⊥平面A1BD．

求出平面A1AD的法向量为=（x，y，z），为平面A1BD的法向量，然后求二者的数量积，求二面角A﹣A1D﹣B的大小． 【解答】解：法一：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC． ∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，连接B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG为二面A﹣A1D﹣B的平面角，在△AA1D中，由等面积法可求得AF=又∵AG=∴sin∠AFG==，，所以二面角A﹣A1D﹣B的大小为arcsin

．

法二：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO． ∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以0为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直），A（0，0，），B1（1，⊥⊥，角坐标系，则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，2，0），∴∵∴∴AB1⊥平面A1BD．（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为=（x，y，z），．

∵⊥⊥，∴∵∴

令z=1得=（﹣，0，1）为平面A1AD的一个法向量．

由（Ⅰ）知AB1⊥A1BD． ∴为平面A1BD的法向量．

cos＜，＞===﹣．

∴二面角A﹣A1D﹣B的大小为arccos

．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．

18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（1）证明：PC⊥平面BED；

（2）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系． 【专题】计算题． 【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；

（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（0）∴∴，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，=（2•，0，﹣2），•

=（=0，b，），=（，﹣b，）

=﹣=0，∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E ∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则

取=（b，0）

设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则

取=（1，﹣，）

∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，∴cos＜，＞=），=（﹣

=，﹣，2）

设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，∴θ=30°

∴PD与平面PBC所成角的大小为30°

]，则sinθ=

【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题

18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；

（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．，D为AA1的中点，【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角． 【专题】证明题；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；

（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1

所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣0），D（又因为所以，0，0），=2=（﹣，所以，0），=（0，），=（），0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线C1D与平面ABC所成角为α，则sinα=

．

【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．