【精品】高一数学 4.6两角和与差的正弦余弦正切(备课资料) 大纲人教版必修_两角和差正弦余弦公式

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●备课资料

1.下列命题中的假命题是（）．．．A.存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ C.对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ D.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ 答案：B 2.在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？ 解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π 且A＋B＋C＝π 即：A＋B＝π－C

由已知得cos A·cos B－sinA·sinB＞0 即：cos（A＋B）＞0 ∴cos（π－C）＝－cos C＞0 即cos C＜0 ∴C一定为钝角

∴△ABC一定为钝角三角形.3.已知sinα+sinβ=

22，求cosα+cosβ的最大值和最小值.分析：令cosα+cosβ=x，然后利用函数思想.解：令cosα+cosβ＝x，则得方程组：

①2+②2得2+2cos(α－β)=x

2+∴cos(α－β)=2x234

∵|cos(α－β)|≤1 ∴|2x234|≤1 解之得：－142x142 ∴cosα+cosβ的最大值是14142，最小值是－2.●备课资料1.已知：α∈（353，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）5＝－1213 求：cos（α＋β）.解：由已知：α∈（3，）

－α∈（－3，－）－α∈（－，0）又∵cos（3－α）＝5

∴sin（4－α）＝－5

由β∈（0，）＋β∈（，2）

又∵sin（54＋β）＝sin［π＋（＋β）］

＝－sin（12＋β）＝－13

即sin（12＋β）＝13

∴cos（5＋β）＝13

又（＋β）－（－α）＝α＋β

∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］

＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α）

＝531213513(45)3365 2.已知：α、β为锐角，且cosα＝4165，cos（α＋β）＝－65，求cosβ的值.解：∵0＜α·β＜

∴0＜α＋β＜π 由cos（α＋β）＝－1665 得sin（α＋β）＝6365 又∵cosα＝45，∴sinα＝35 ∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］

＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα 2 ＝（－＝463316）×＋×

5655655 1335，cosB＝，求cos C的值.513评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.3.在△ABC中，已知sinA＝分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.解：由sinA＝32＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，5251，∴60°＜B＜90°，13212∴sinB＝

13又cos B＝若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能.4.516∴cos C＝－cos（A＋B）＝.65∴0°＜A＜45°，即cos A＝●备课资料

1.对等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ的正确认识是()A.一定成立 B.一定不成立

C.只有有限对α、β的值使等式成立

D.有无穷多对α、β的值使等式成立，但不是对所有α、β成立 答案：C 说明：sin（α＋β）是两角α与β的和的正弦，它表示角α＋β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比，在一般情况下，sin（α＋β）≠sinα＋sinβ.只有在某些特殊情况下，sin（α＋β）才等于sinα＋sinβ.111，sin（0＋）＝sin＝，sin0＋sin＝0＋＝，222这时有sin（0＋）＝sin0＋sin.例如：当α＝0，β＝2.若sinα·sinβ＝1，则cosα·cosβ＝.分析：由于sinα、sinβ∈［－1，1］

仅当sinα＝sinβ＝±1时，sinα、sinβ才有可能等于1，这时α、β的终边一定同时落在y轴的正半轴或负半轴上，此时cos α＝0，cosβ＝0，故cosα·cosβ＝0.答案：0 3.（2003·上海·理1）函数y=sinxcos(x+

)+cos xsin(x+)的最小正周期T=_________.解：∵f(x)=sin(2x+∴T=

)2=π.答案：π.●备课资料

1.已知cosθ＝－，且θ∈（π，解：∵cosθ＝－且θ∈（π，∴sinθ＝－ 则tanθ＝

）＝4tantan434535353），则tan（θ－）的值为多少? 243)24 ∴tan（θ－

1tantan44113 ＝47132.若tan（α＋β）＝，tan（β－

251）＝，求tan（α＋）的值.444）＋（β－）＝α＋β，所44分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现（α＋以可将α＋化为（α＋β）－（β－），从而求得tan（α＋）的值.444）4)］ 4解：tan（α＋＝tan［（α＋β）－（β－tan()tan()4 ＝

1tan()tan()42112543 将tan（α＋β）＝，tan（β－)＝代入上式，则，原式＝

21224451543.已知tanα＝，tan（α－β）＝－，求tan（β－2α).解：∵α＋（α－β）＝2α－β

∴tan（β－2α）＝tan［－（2α－β）］ ＝－tan（2α－β）12254 ＝－tan［α＋（α－β)］ ＝tantan()

tantan()112()5 ＝212()125＝－1 123xx2sinx－tan＝ 22cosxcos2x3xx3xx＋＝2x，－＝x 22224.证明tan分析：细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：∴sinx＝sin3xx3xxcos－coin 22223xxcos 22

① ② cosx＋cos2x＝2cos①÷②即得：

3xxsin2sinx22 3xcosxcos2xcosxcos22sin＝tan3xx－tan.22●备课资料

1.已知α、β为锐角，cosα=，cos(α+β)=－

1711，求β的值.14分析：注意观察α、α+β及β间的关系，先求角β的一个三角函数值，再根据β为锐角求出β.解：∵α为锐角，且cosα=，∴sinα=1cos243.717又∵α、β均为锐角 ∴0＜α+β＜π 且cos(α+β)=－11，14∴sin(α+β)=1cos2()=

53.14则cosβ=cos［(α+β)－α］

=cos（α+β)cosα+sin(α+β)sinα =(－11153431)×+×= 1427147∴β=.35 评述：（1）在和（差）角公式的运用中,要注意和、差的相对关系，如（α+β)－α=β.(2)求角的基本步骤：①求角的范围；②求角的一个三角函数值；③写出满足条件的角.2.已知3123＜β＜α＜，cos(α－β)=，sin(α+β)=－，求sin2α的值.24135分析：注意观察α－β、α+β和2α间的关系，再选择适当的公式进行计算.解：由题设知α－β为锐角，所以sin（α－β）=又∵α+β是第三象限角 ∴cos(α+β)=－，由2α=(α+β)+(α－β)得sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)=－56 655，1345评述：在三角变换中，角的变换是常用技巧，本题是将角2α变换成（α+β)+(α－β)，使已知式中的角与待求式中的角联系起来.3.若A+B=，求（1+tanA)(1+tanB)的值.4分析：注意待求式与正切和角公式间的联系，将正切和角公式变形解题.解：（1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB.又tan(A+B)=且A+B= 4tanAtanB

1tanAtanB∴tan(A+B)=1 ∴tanA+tanB=1－tanAtanB 即tanA+tanB+tanAtanB=1 ∴(1+tanA)(1+tanB)=2.评述：在解题过程中要注意分析条件和结论中的关系式与有关公式间的联系，并将公式进行变形加以运用.4.化简3tan1813tan183tan1813tan18

分析：注意把所要化简的式子与正切的差角公式进行比较.解：=tan60tan18

1tan60tan18=tan(60°－18°)=tan42°

评述：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形.5.化简（tan10°－3)

cos10 sin50分析：切、弦混合式在不能直接运用公式的情况下，考虑将切化弦.解：原式=（tan10°－tan60°)cos10sin50 =(sin10sin60coscos10cos60)10sin50 =sin(50)coscos10cos60·10sin50

=1cos60 =－2.评述：（1）切化弦是三角函数化简的常用方法之一.（2）把函数值化成tan60°在本题的化简中是必经之路.●备课资料 1.求证：sinxcosxsinxcosx＝tan(x－4)2sin(x)证明：左边＝

2cos(x4)＝tan(x－4)＝右边 或：右边＝tan(x－4)sin(x＝4)cos(x 4)sinxcoscosxsin＝4cosxcos4 4sinxsin4＝sinxcosxsinxcosx＝左边 2.若0＜α＜β＜4，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则()A.ab＜1

B.a＞b C.a＜b

D.ab＞2 解：sinα＋cosα＝2sin(α＋4)＝a sinβ＋cosβ＝2sin(β＋

4)＝b 又∵0＜α＜β＜4 ∴0＜α＋4＜β＋4＜2∴sin(α＋∴a＜b 答案：C )＜sin(β＋)443.已知tanA与tan(－A+



2)是x+px+q=0的解，若3tanA=2tan(－A)，求p和q的44值.分析：因为p和q是两个未知数，所以须根据题设条件列出关于p、q的方程组，解出 p、q.解:设t=tanA，则tan(由3tanA=2tan(得3t=

1tanA1t－A)=

1tanA1t4－A)42(1t)1t1解之得t=或t=－2.311t1当t=时，tan(－A)==，341t25p=－［tanA+tan(－A)］=－，64111q=tanAtan(－A)=×=.32641t当t=－2时，tan(－A)==－3，41tp=－［tanA+tan(q=tanAtan(－A)］=5，4－A)=6 4∴满足条件的p、q的值为：

5p6p5或 1q6q6评述：(1)“列方程求解未知数”是基本的数学思想方法.(2)如果tanα、tanβ是某一元二次方程的根，则由韦达定理可与公式T(α+β)联系起来；若

22cosα、sinα是某一元二次方程的根，则由韦达定理与公式sinα+cosα=1联系起来.●备课资料

1.tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝_____.解：原式＝tan2A［tan(30°－A)＋tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］ ＝tan2Atan［(30°－A)＋(60°－A)］［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］

＝tan2Atan(90°－2A)［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］

＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］ ＝1 ［师］评述：先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值.222.已知tanα、tanβ是方程x－3x－3＝0的两个根，求sin(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.解：由题意知tantan3

tantan3∴tan(α＋β)＝tantan31tantan＝1(3)34

sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos

2(α＋β)＝cos2(α＋β)［tan2

(α＋β)－3tan(α＋β)－3］ ＝11tan2()［tan2

(α＋β)－3tan(α＋β)－3］ ＝1［(3)2－3×3－31(3)244］＝－3 43.已知α、β为锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值.解：由α为锐角，cosα＝45，∴sinα＝35.由α、β为锐角，又tan(α－β)＝－13

∴cos(α－β)＝31010 sin(α－β)＝－1010 ∴cosβ＝cos［α－(α－β)］

＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝45×31010＋35×(－1091010)＝50