第3讲：数列的最大项、最小项问题_数列中最大最小项问题

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数列的最大项、最小项问题

1的图象按向量(2,1)平移后便得到函数f(x)的x2

图象，数列{an}满足anf(an1),(n2,nN)。31（Ⅰ）若a1，数列{bn}满足bn，求证：数列{bn}是等差数列； 5an1

3（Ⅱ）若a1，数列{an}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，5问题引入——已知函数y1

若不存在，说明理由。

错因回放——本题第一问大多数学生都能做对，主要是第二问，一部分学生解得an2n52n524之后就思路受阻；或令yan1y022n72n72n7(2n7)恒成立，故说an只有最大项为a1，无最小项等等。

分析：数列可以理解为特殊的函数，可以借助函数的知识求解，但又不是连续的函数，所以在求解过程中要注意这一点，尤其是在取导数的时候，另外最好把an的关系式理解成一个经过平移的反比例函数图像上的一些孤立点较好。

知识背景——本题判断数列是等差数列可以利用定义法，即证明后一项减去前一项为定值；第二问利用“一次分式型”函数的求最值方法（注意数列的项对应的只是一些孤立点），即可以分离常数后直接讨论单调性、或结合图像观察、或利用导数研究单调性等判断其最小项和最大项。另外我们判断数列项的最值问题也往往构造函数后利用作差或作商法。正确解答：

(1)f(x)1

bn11

an11an111112.an2(n2,nN)bn,x22xan1an1an11,bnbn11(n2,nN)数列{bn}是等差数列.15571,公差为1,bn(n1)1n,由bn得a11222an1(2)由(1)知b1

an11221.故构造函数yan1.方法一：讨论单调性（略）；bn2n72n7

40.2(2n7)方法二：结合图像观察（略）；方法三：利用导数y

777函数yan在区间(,),(,)上为减函数.当x时y1,bn取最小值b31,222

7当x时y1,bn取最大值b43,故存在.2

相关练习——设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①anan2an1；②anM其中nN，M是与n无关的常数。2

（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4,S3=18.证明：{Sn}∈W；

（2）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，且{bn}∈W。求M的取值范围；

（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}∈W。证明cn≤cn+1：

练习答案：（1）略；（2）；M≥7（3）略。