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试论当前中学数学解题教学的误区与对策
广州市第四中学 周伟锋
2005年12月
一、误区：套题型教学与挤牙膏式的“启发”
学习数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部分。当前中学数学解题教学内容多、时间短、难度高、压力大，尤以高三毕业班为甚。一些教师在教学过程中采用了以下两种课堂教学方法进行解题教学，严重影响了学生数学学习的效率——
其一是套题型教学。有些教师是这样备课和上课的：他们总是想方设法找到各种各样的教学资料，进行仔细的疏理，试图把所有的问题都归结为一种一种的类型，然后非常详尽地把每一种类型题目所对应的解题方法传授给学生，让学生记住这些解题方法并“对号入座”地解题。我们姑且把这样的教学成为套题型教学。
其二是挤牙膏式的“启发”。我们有的“优秀课”是这样产生的：教师在课前做了大量的准备工作，每一个教学过程的细节都经过精心的考虑。在上课过程中，老师总是一点一滴地“启发”学生：看到这个条件，能想到什么结论？要证明这个结论，需要什么条件？„„等等。他们“引君入瓮”般使学生得到问题的解答，整节课似乎非常流畅。这样“丝丝入扣”的讲课，我们姑且形象地称之为挤牙膏式的“启发”。
笔者认为：套题型的教学和挤牙膏式的“启发”虽然是当前教学中习以为常的现象，但却是数学解题教学的误区。因为它们并不能真正培养学生的思维，这样的教学并没有让学生整体地面对问题、整体地思考问题、独立地探究问题，不仅对培养学生的思维没有实质帮助，长此以往，甚至连学生探求知识的热情也会扼杀，而学生的创造性思维培养就更流于空谈了。显然，这样的教学是不利于学生的终身发展的。试想，在学生的漫漫人生旅途中，是否他们所遇到的所有问题都能用事先预定好的方法对号入座地解决呢？是否他们遇到问题时都总能有人站在他旁边一步步地“启发”他如何解决问题呢？
有一个故事可以类比这两种教学：有人送了一辆汽车给一个印第安老人，这位老人找来几匹最好的马，把汽车绑在马的后面，他试图通过马的跑动带动汽车的运动。这个故事是愚昧的、可笑的。这是因为印第安老人长期与世隔绝，因而不知道汽车是可以自己运动的。实施这两种教学实际上也是误以为学生的学习是非得要老师去带动不可的的，而忽视了学生当中所蕴藏的巨大能量！
为了每一位学生的终身发展，这样的数学课堂教学已到了非改不可的地步。
二、对策：练在讲之前，讲在关键处
数学教师几乎都认同：在课堂教学中，教师是主导，学生是主体。但是，有的教师对教学中的“导”存在着很大的误解：他们以为“导”就是要把学生的思维导入预定的轨道，因此就出现了套题型的教学和挤牙膏式的“启发”。然而，学生正处于身心发育时期，与生俱来有着一种逆反的天性。他们希望尝试，他们希望创新，他们希望走出自己的路！我们的教学却要想方设法地把学生的思维导入我们事先预设的轨道，学生甘心吗？久而久之，思维受到长期制约的学生能够感受学科求知的无穷魅力吗？君不见，我们的学生经常问类似的问题：为什么我这样解题不行？为什么数学学习这么乏味？可以断言：没有真正理解教师的“主导”，就不可能有学生的真正“主体”。
因此，笔者更认同一种新的观念：教学的本质是交往，是以教师和学生都作为主体，以教学内容为中介的交往。“课堂教学中学生的学习首先应以认知主体的身份亲自参与丰富多彩的活动，在与情境的交互作用下，重新组织内部的认知结构，建构起自己对内容、意义的理解”1。笔者提倡让学生做数学，让他们在不断的探索中提高能力，而不是让他们看数学、听数学。只有在老师讲解之前学生已经深入地钻研了问题，他才能有“资本”与老师进行平等的对话、交流，他才能真正成为学习的主体。我们甚至可以这样认为：只要练在讲之前，哪怕是以老师的讲为主要形式，它也是一种交往。因为在老师讲的过程中，学生必然在心里把自己的想法和老师的想法进行了对比、评价。何况，我们还有小组讨论、组间答辩、师生相互质疑等多种“讲”的形式能使师生、生生之间更好地进行交往呢！
“练在讲之前”的另一个重要作用是能够让学生充分感受学科求知的无穷乐趣。笔者认为：我们要用学科的内在魅力去打动学生。君不见，学生学习数学最兴奋的时候就是他们通过苦思冥想终于找到了解决问题的办法的时候！因为实施了“练在讲之前”，笔者的数学课学生都不愿下课，经常在打了下课铃以后笔者要请学生起来活动，因为学生都还沉浸在数学探究的乐趣中。
之所以要“讲在关键处”，一是“先试后学、先学后教，以学定教” 2，让学生得到真正的启发，而不是以教代学；二是确保能够腾出时间、空间让学生投入到问题的探究之中，让他们真正成为课堂学习的主人。
三、“练在讲之前，讲在关键处”的基本策略
1、感受数学，重视“过程的学习”
“数学的核心是问题”，解决问题的关键是掌握正确的思维方法。因此，数学学习应该是既重视结果，更重视过程的。为此，笔者在教学过程中倡导以下两种做法让学生感受数学、体会思维方法：
1、不进行只关注结论的假“预习”，2、课堂上的题目不以“例题”的形式而是以“问题”的形式出现。
笔者并不反对真正意义上的预习（下文提到的在教师讲授之前的练习和思考才是真正的预习），但反对那种死记硬背式的假“预习”。对于大多数的学生而言，他们对“预习”的理解，就仅局限于记住几个概念、几个定理、几道例题的解法。通过这种只关注结论的假“预习”，他们似乎掌握了这一节课的知识，然而，由于他们没有通过自己的思考去感受数学，因而就会失去了课堂上研究问题的热情；失去了在思考这些问题的时候所运用的学科思想方法；更为可惜的是，由于他们没有充分参与解决问题的过程，从而错过了直面困难、迎难而上、百折不回的精神的培养的机会！
另一方面，为什么笔者倡导课堂上的题目不以“例题”的形式而是以“问题”的形式给出呢？这是因为“例题”与“问题”虽然只有一字之差，但对学生而言意义截然不同。如果是“例题”，学生在潜意识中就可能会产生这样的想法：这道题是老师给出的一个范例，我们只要听懂和做好笔记就可以了。笔者在教学实践中发现：在高中阶段，笔记做得好的学生数学往往学得差！为什么会出现这样的情况？因为只知道记笔记的学生，在老师让他们思考题目的时候，他们往往还专注于抄前一道例题的笔记。这样的学习，怎谈得上思维的发展呢？我们经常说学生的课外负担重，实际上这是由学生课内负担轻而造成的。
2、重构内容，确保学生自主学习的时间与空间
中国古代哲学认为治国的最高境界是“无为而治”，与此类比，我们的教学是否也可以“不教而学”或者“少教而多学”呢？
笔者认为：老师表面上的“无为”是可以造就学生事实上“有为”的局面的！笔者在备课的时候不是象其它教师那样到处查找资料、补充各种题型、总结各种规律，而是反其道而行之，思考如何对教材进行重构，“突出知识的主干，大量删减可以不由教师讲而让学生自己学、自己感悟的内容” 3。更为形象地说，传统备课是在做“加法”，笔者的备课是在做“减法”。笔者在备课时想的首要问题，也是想得最多的问题就是：“哪些内容可以不讲？哪些内容是非讲不可的？”
可以做这样一个假设：如果一个数学教师只会做一道数学题，那么他在跟学生上课的时候就会觉得解这道题的每一个步骤都是十分重要的，因而他会非常详细地讲解每一步；假定一个数学教师只会做两道数学题，那么他在跟学生上课的时候就会觉得解这两道题时所用到的共同的方法是最重要的，因而他在讲课时就会重点讲授这些共同的方法，这位老师如果站在系统的高度去讲解这两道题，他所需要的讲课时间也许并不比第一位老师多；„与此类推，一个教师所会解决的问题越多，他就越能从系统的高度去把握本学科的知识，他所认为必须要讲的东西就可以越少。
笔者在3届高三毕业班的循环教学中，都坚持这样一种做法：高
一、高二学习新知识的时候，老师每节课讲授的时间平均不超过15分钟；高三复习课每节课老师讲课时间平均不超过10分钟，有的课甚至老师讲课的时间不超过5分钟。而令人惊讶的是：我们的学生却总是能比其他学校的学生掌握得更好、更快。
我们的学生学得快，我在教学中并不是采用以往的那种“砍头、去尾、烧中段”的赶课时做法，笔者讲得少是为了给学生腾出大量的时间与空间，是为了让学生更主动、更积极、更亲历其境地去学。正是由于有了学生的深层次的参与，才能取得过去我们以老师的教为主所不可能达到的高效。
新课程标准要求让学生的学习方式多采用自主学习、探究学习、合作学习。有的老师觉得教学课时紧很难在课内实现，而笔者的实践恰好从另一个角度说明了：只要敢于把时间、空间还给学生，这些要求都是可以实现的！
四、“练在讲之前，讲在关键处”的具体实施：“练-校-改-讲-悟-刍” “练在讲之前，讲在关键处”的具体实施可以分成“练-校-改-讲-悟-刍” 4 等6个环节进行。
1、练
练，指的是学生独立面对数学问题进行思考、解答。在这一环节中，不但要发挥学生解题的主体作用，也要注意发挥教师在题目的优化组合中的主导作用。我们认为，理想的训练题组合应体现以下四个特点：
(1)基础训练与综合训练相结合只重视基础训练，就会割裂了知识间的联系，不利于学生提高分析问题，解决问题”的能力，与素质教育背道而驰；只重视综合训练，会使学生片面追求解题的特殊技巧而忽视了教学中的通性通法，使数学能力成为毫无根基的“空中楼阁”。
(2)“数感”训练与“数理”训练相结合“数感”，从语文教学中的“语感”一词引申而来，指的是数学学习中的直觉和灵感；“数理”与“数感”相对，指的是数学学习中的理性思考。长期以来，数学教学的侧重点都是“数理”，教学思维的逻辑性非常突出，“因为„„所以„„”成了学生数学思维的固定模式。而笔者认为，数学教学不应仅有“数理训练”，还应有适当的“数感”训练。因为“数感”训练有助于培养思维的敏捷性和灵活性，能大大提高学生对数学问题的整体把握。从现代脑科学的角度看，“数感”训练使右脑也参与到数学思维活动中去，促进左、右脑的平衡发展，可以达到“1+1>2”的效果，学生的“数感”主要表现为对问题结论、解题思路、添加辅助元等的直觉感知上。学生的“数感”是可以通过训练培养出来的，“速度训练”是培养学生的“数感”的常用而有效的方法。
(3)常规训练和应变训练相结合“创新是民族的灵魂”。面向21世纪的数学教育，必须把培养学生的创造性思维放在一个极为重要的位置上，因此，我们要树立这样一个观念：数学能力的高低，不仅体现在解决常规性题目上，更体现于独立解决一些新颖的、末给出解题模式的题目上，在日常教学中，我们可以运用一些应用性、探索性的题目为学生创设数学的问题情境，引发学生的思维，提高他们的应变能力。(4)进度训练和反刍训练相结合“反刍”，是牛的一种生活习性，指的是牛把粗粗嚼后咽下去的食物再返回到嘴里咀嚼再咽下，有利于牛对食物的消化、吸收。反刍训练指的是根据人类认知的遗忘规律，在教学过程中对过往所学知识的复习、巩固数学是一门系统性很强的科学，知识链中的某一环节出现断裂都会严重影响后续内容的学习。因此，反刍巩固在学生的认知过程中是十分重要和必要的。
2、校
校，指的是校对（不是讲评）。缺了校，练是徒劳无益的；缺了校，改与悟就更加无从入手，学生将很难提高。有的老师虽然知道校的重要性，但只采用事必躬亲的单一方式，把自己日日夜夜地绑在一叠叠的学生作业旁，不但影响了自己业务的提高，而且延误了学生及时反馈的时机，降低了解题教学的实效。笔者认为，校应是自校、互校、师校的有机统一，三者是相互依存，相得益彰的，在教学中应以自校为主。
(1)自校——寻根溯源
教学实践证明，反馈越快，学生越关注题目解答过程的正误，对知识的掌握和能力的形成就越有效；反馈越慢，学生越是只关注分数的高低，而对解题本身越淡漠。因此，对于日常的解题训练，为使学生尽快找出自己出错的根源，自校是一种理想的选择。
(2)互校——加速反馈
对于综合性较强的题目，往往关卡重重、步步设伏，学生一不小心就会出现这样或那样的错误。我们大可以让学生们互校，就让他们在互相督促、互相竞争的气氛下感受到解题的无穷乐趣吧。
(3)师校——规范解题
当学生对解答习题感到不得要领时(例如平面几何和立体几何的入门之初)，师校是必不可少的。这时的师校就如同盲人的那根拐杖，使学生的解题逐步由无序走向规范。
3、改
改，指的是学生对做错的题目或方法不当的解题过程进行改正。学生 6 的“改”和教师的“讲”次序可以调整。是“先改后讲”还是“先讲后改”可以视具体的教学情况来定。一般而言，在学习时间较充裕的条件下，“先改后讲”让学生根据习题训练的反馈信息，对错误进行剖析、更正，加深了对知识的理解，充分发挥了学生的主体作用，教学效果会更显著。如果在学习时间不太充裕的情况下采用“先讲后改”，则要特别注意老师的评讲不能变成越俎代疱，要给学生以辩证思维的时间，以免造成学生对老师的依赖性。
“练在讲之前，讲在关键处”中的改应体现以下几个特点：
(1)时效性
现代信息论，控制论告诉我们：信息反馈越快，信息的接收量就越大及时改错，是一种良好的学习习惯，却未被学生普遍重视。只有及时改错才能使学生及时纠正学习过程中的错误认识，并查漏补缺，确保学习的顺利完成。
(2)推敲式
古人作诗，为用“推”字还是“敲”字而反复思量。而我们对数学中的疑难问题，也应当学习古人的这种治学态度，寻根问底直到完全弄明白为止。
(3)最优化
数学解题的方法往往是多种多样的。我们应当要求学生不但要懂得解决某个题目的方法，更要学会解决该问题的最优化方法。这样才能举一反三，提高分析问题、解决问题的能力。
4、讲
讲，指的是老师对学生的解题进行评讲。“讲”带动了“改”和“悟”，起到承上启下的作用。恰到好处的讲，会起到良好的导向作用，能诱发学生的悟。笔者认为，讲应是多种思维的优化组合，互为补充，应体现：(1)逻辑思维和形象思维并重
数和形是数学研究的两个主要方面，它们分别对应着逻辑思维和形象思维。著名数学家华罗庚认为：“数缺形时难直观，形缺数时难入微”。可见，数和形是紧密联系的，不可分割的，逻辑思维和形象思维也是相辅相成的。7 在习题评讲过程中要运用数形结合的思想，以形助数，以数论形提高思维的速度和准确性。
(2)集中思维与发散思维并重
集中思维的特点是思路集中，所有信息都朝着一个目标深入发展以形成新信息。发散思维的特点是思路广阔，寻求变异。解决数学问题既需要集中思维，也需要发散思维，因此，在习题评讲中既要注意“通性通法”的运用，又要注意一题多变、一题多解、一法通用。
(3)理性思维和直觉思维并重
任何数学知识的发现和数学问题的解决，都是理性思维和直觉思维的辩证结合的结果。因此，在习题评讲中，在注重理性思维的同时，还要重视直觉思维在解决问题中的指引方向和调整思路的作用。在思维过程借助非逻辑的经验、想象、猜测，构造的成分。
(4)认知与情感并重
教学是在师生的相互沟通中进行的，因此数学教学离不开情感因素。数学习题评讲的教学目标应包括认知和情感两部分，特别要通过展现解题思维的全过程培养学生的学习兴趣和承受挫折、迎难而上的意志品质。
5、悟
悟，包括渐悟和顿悟，是前四个步骤和谐发展的必然结果。实现悟的途径主要是解题后的反思回顾和发散想象，这是学生应当养成的学习习惯。就数学本身而言，解题是没有固定模式的。而对某类型的题目，的确又存在着一定的模式。笔者认为解题教学的最终目标是学生在掌握了多种题型的解题模式后，领悟出数学最本质的内涵，进而忘记模式，象疱丁解牛一样依规律而行，达到“大道自然、天人合一”的境界。
6、刍
刍，是悟后的巩固。刍的方式主要有专题式反刍和渗透式反刍两种。
(1)专题式反刍
为了减少学生对知识的遗忘率，笔者在教学过程中喜欢不定期地把以往所学内容按章节进行专题训练，这样长期积累的结果，学生到毕业班时知识网络一般都比较完整。(2)渗透式反刍
数学知识的系统性，决定了数学习题教学不可能完全脱离以往所学的知识。所以，在习题教学中要适当选取一些综合性强，知识覆盖面广的题目进行训练，通过渗透式的复习达到巩固所学内容的目的。
综上所述，“练在讲之前，讲在关键处”是一个师生间多元互动的教学系统。在这个系统中，学生不是被老师牵着鼻子走，而是在老师的引导和帮助下，主动地学习，主动地反馈调控，并由此促进整体素质的全面提高。
五、结语
面向21世纪，教育必须以学生为本，使学生全面、协调、可持续的发展。虽然我们认同学习成绩好的学生不一定是素质高的学生，但是我们更认同这样一种观念：素质高的学生学业成绩不会差。因而解题教学的根本任务是发展学生的思维潜能，促进学生整体素质的提高，通过素质的全面提高反过来带动学业成绩的提高。在连续四届的高中循环教学中，笔者通过“练在讲之前，讲在关键处”的课堂教学方法，充分相信学生，全面依靠学生，大大提高了学生学习的积极性，充分发挥了他们的主体作用，大面积、大幅度、高效能地提高了学生数学学习的水平，取得了十分显著的效果。正是：问渠哪得清如许，为有源头活水来！
参考文献：
《PME：数学教育心理》，华东师范大学出版社，2001年，第一版。1李士奇，2郭思乐，《教育走向生本》，人民教育出版社，2001年，第一版。
3林少杰，《数学非线性主干循环活动型单元教学模式的构建》，《中学数学课型与教学模式研究》，新世纪出版社，2002年，第一版。
