1变式教学与高三数学复习_高三数学变式教学案例

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变式教学与高三数学复习

洪秀满

【原文出处】《中学数学》（江苏），1995.10.（10～12）【作者简介】 洪秀满，浙江省仙居中学（317000）

我们知道，在高三数学复习课中，例题教学是一个重要环节，要使学生在解题中，广开思路，掌握规律，还要培养学生的多维性思维、分析问题和解决问题的能力，若仅仅满足一题一得往往是不够的。因此，能否充分发挥例题教学的作用，将直接影响复习课的效果。

如何充分发挥例题教学的作用呢？笔者在长期的教学实践中体会到，运用变式教学是普遍有效而易行的重要途径。所谓变式，就是不断变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置实际应用的各种环境，而概念或问题的本质不变。简言之，就是在变化中求不变，万变不离其宗，使得学生从中获得再认识，并提高识别、应变、概括等能力，培养学生的思维品质。下面谈谈如何运用变式进行高三复习课中的例题教学。

一、运用“一题多解”，培养思维的发散性

一题多解的实质是解题或证明公式、定理的变式。因为它们是以不同的论正方式反映条件和结论间的同一必然的本质联系。运用这种变式教学，可以引导学生对同一来源材料可从不同的角度、不同的方位思考问题，探求不同的解答方案。课本中有许多题目，由于当时所学知识和教学进度的局限性，不可能都用多种方法去研讨其解法。因此，在高三复习时，回过头来做这些题目，往往有多种做法，有的甚至比以前解法来得更加简捷明快。凡课本的例、习题能做到一题多解的尽量给学生以尝试的机会。

例如《解几》P111第8题：过抛物线y22px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两交点的纵坐标分别为y1、y2，求证：y1y2p2。

分析：设过抛物线y2px的焦点F(2p,0)的直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)、2B(x2,y2)，下面引导学生从不同角度进行证明：

思路一：（ⅰ）当l与x轴不垂直，设l的方程为：yk(x消去x得：ky2pykp0，即有：y1y2p；

2（ⅱ）若lx轴时，显然有y1p，y2p，∴y1y2p． 222p)，代入y22px，2思路二：（ⅰ）若l与x轴不垂直，由A、F、B三点共线，即可推得：y1y2p．

（ⅱ）若lx轴（同法一）

2思路三：如图，自A,B分别作准线m的垂线AA,BB，A,B分别是垂足；由抛物线|AB||AF||BF||AA||BB|，定义可知：将A、B、F的坐标代入，并化简整理得：y1y2p2．

2y12y2 思路四： 设A(,y1)、B(,y2)，F分AB的比为，2p2p2y12y22pp2p2则12，消去得：y1y2p． yy210134，|BB||BF|故有12，思路五： 如图4，由抛物线定义|AA||AF|，又AA//BB，∴56，而522，623，则23即AFB2，2．在RtAFB中，有|AN||BN||FN|,2即|y1||y2|p2，而y1与y2必异号，∴y1y2p2．

由于教学进度的局限性，此题当时只能用上述这五种方法 解之，其中有几种方法还需要讨论直线l与x轴的关系，而学生 却往往忽视这一点。如果复习阶段再回过头来解答此题，学生 自然会运用直线的参数方程、极坐标等知识解之。

pxtcosp思路六： 设过焦点F(,0)的直线l参数方程为（t为参数），22ytsin代入：y2px，化简得：tsin2222ptcosp20。

p2设此方程的两个根为t1、t2，则有t1t2，再由方程可知：y1t1sin，sin2p222sin。y2t2sin；∴y1y2(t1t2)sinp2sin2思路七：以F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，则抛物线y2px的极坐标方程为2p。

1cos设弦的一个端点坐标为(1,)，则另一个端点的坐标为(2,)； ∴y1y2(1sin)(2sin)pp(sin2)p2。

1cos1cos这样一来，既复习了直线参数方程、极坐标等知识，同时，又能提高学生的解题能力，促进知识间的联系。

二、运用“一题多变”，培养思维的灵活性

一题多变是题目结构的变式，指变换题目条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同的角度、不同的方位指向题目的实质。用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思考，迅速想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。

例如在《解几》中复习最值，教学时可选用课本P126第22题作为原命题，加以变换、拓广。

原题：求抛物线yx2上到直线y2x4的距离最小的点的坐标，并求出这个距离． 复习时，在引导学生作出多种解答的基础上，常可作如下的分析、变换：

变换一：若将原题中的抛物线方程“yx2”换为其它二次曲线，就得到如下一类问题：求二次曲线上的动点到定直线的距离的最值．

譬如：已知直线l：2x3y20，点B在椭圆(x2)24y24上运动，求B点到l的距离d的最大值，并求此时的B点坐标。

再如：如果将原题中的抛物线方程“yx”换为“y4x”，就得到87年的全国高考数学理科试题二（5）。

变换二：若将“变换一”中定直线换为定圆（包括点圆），可得另一类最值问题：求分别在二次曲线和定圆（包括点圆），上两点间的距离的最值．

22x2y2421上移动，点Q在以点M(1,0)为圆心，例如：点P在椭圆为半径的25163圆上移动，当点P位于P，点Q位于Q时，P、Q两点距离最近，记最近距离为d，求d及点P、Q的坐标。（92年浙江省高中证书会考试题）

变换三：若将“变换二”中的条件与结论对调，又可得如下一类问题：设M点在直线

N（待定）或圆（包括点圆）上运动，在一个含有某未知因素的二次曲线上运动，且已知|MN|的最大值或最小值，求N点的坐标及此二次曲线的方程． 例如，设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e33，已知点P(0,），到

22这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标．（90年全国高考数学试题（文、理））

象这样将题目演变、拓广，使题目由一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，这无疑能提高学生举一反三，触类旁通的能力。使之达到熟一类、通一类，甚至通几类。

三、运用“一式变用”，培养思维的深刻性

一式变用是指对一个公式的变式应用。数学中时常会遇到一些重要公式，而对它们的推导以及引导学生进行应用，这些工作教学时都会做到。但如何变换公式的形式或结论，挖掘潜在的意义进行应用，这就未必都能做到。因此，在高三复习时，教师要有意识地引导学生对一些重要公式进行变用，挖掘潜在的几何意义，使之不迷恋于表面现象，而是透表求里，从而培养思维的深刻性。

例如：在《解几》中，|ax0by0c|ab22表示点M(x0,y0)到直线l：axbyc0的距离公式。高三复习时，笔者常作以下三种变用，使对

于求解一类不等式和变量取值范围，常能收到形象直观、驭繁为简的效果。

变用一：|ax0by0c|a2b222x0y0

（Ⅰ）

其几何意义：是过原点的直线l外的任一点到该直线 的距离不大于这点到原点的距离。如图

22将关系式（Ⅰ）两边平方，即得柯西不等式：(ax0by0)2(a2b2)(x0y0)

这是一道应用广泛且重要的著名不等式——柯西不等式。

b是两个实数，A(x,y)|xn,ynab,n，B(x,y)|xm, 例1．设a、y3m215,m，C(x,y)|x2y2144，是平面xoy内的点的集合，讨论是否存在a和b，使得（1）AB；（2(a,b)C同时成立？（85年高考数学试题）

解：如果存在实数a和b使得（1）和（2）同时成立，则方程 3x15axb 应有整数解。

考察点(x,1)到直线axby0的距离关系及ab144，有

222|axb|a2b2x21212x21，又∵axb3x2150

∴ 3x21512x21，化简得：x6x90，即(x23)20； ∴x3，这与x为整数相矛盾。

故不存在实数a和b使得（1）和（2）同时成立。变用二：

42|ax0by0c|a2b2(xx0)2(yy0)2（Ⅱ）

其几何意义：不过原点的直线l外的任一点到该 直线l上各点的斜线和垂线中，以垂线最短。如图

根据图形直观，不难看出，和点M不在直线l同一侧的点及直线l上点P的坐标(x,y)都满足不等式（Ⅱ）。

例2.若x2y20，求函数zx2y22x4y的最小值。解：由所给的函数关系可得：z5(x1)2(y2)2 显然，点(1,2)在直线x2y20的下方，而坐标满足

x2y20的点(x,y)都在直线x2y20上及上方

22区域，由公式（Ⅱ），有(x1)(y5)|142|5，494924，即z5，∴z； 555242

2故函数zxy2x4y的最小值为。

5于是(x1)(y2)22变用三：若R是一个正的常数，则

|ax0by0c|ab22小于R、等于R、大于R分别表示直线axbyc0与定圆(xx0)2(yy0)2R2相交、相切、相离的位置关系。

例3.求证：方程 asinbcosc0[0.2)（ⅰ）当abc时，有两个相异实根；（ⅱ）当abc时，有唯一实根；（ⅲ）当abc时，无实根。222222222分析：令xsin，ycos，则方程asinbcosc0在[0.2)内有根的情况等价于直线axbyc0和圆x2y21有无公共点的情况，所以当原点O(0,0)到直线axbyc0和圆x2y21有无公共点的情况，所以当原点O(0,0)到直线axbyc0的距离依次小于、等于、大于1时，该方程分别有两相异实根、有唯一实根和无实根，即

当|a0b0c|a2b2222也就是当abc时，a2b2sin2cos21时，原方程有两相异实根。

当|a0b0c|a2b2a2b2sin2cos21时，即当a2b2c2时，原方程有唯一实根。

当|a0b0c|a2b2a2b2sin2cos21时，即当a2b2c2时，原方程无实根。

教学实践表明：在高三数学复习课例题教学中，实施变式教学，对调动学生学习的积极性，激发他们求知欲望，活跃课堂气氛，培养能力都具有良好的作用。

原载《中学数学》（江苏），1995.10.（10～12）