固体习题之一_固体习题之一介绍

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固体物理学习题

1.求sc晶格中沿a1,a2,a3,a1,a2,a3，以及面对角线，体对角线方向，和a12.设两原子间的相互作用能可表示为

11a2a3 方向的晶列指数。23rr

其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；、、n和m均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n > m。

3.原子质量为m，原子间距为a的一维单原子链，设原子间力常数为, 在最近邻近似和最近邻近似下

（1）写出晶格振动的运动方程；（2）求出格波色散关系并画出示意图；（3）分析并确定波矢的独立取值范围；（4）分析并确定波矢的具体分立取值。4.*设晶体的总相互作用能可表示为 urmnUrABrmrn

其中，A、B、m和n均为大于零的常数，r为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求：(1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r0和晶体的相互作用能U0；

(2)设晶体的体积可表为V＝Nr，其中N为晶体的原子总数，为体积因子。若平衡时

晶体的体积为V0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K为 3K mnU09V0。

5.画出sc的（100），（110），（111），（121），（231）晶面。6.证明晶面指数的两个定义等价。

7.证明，对于立方晶系，晶向hkl与晶面(hkl)正交。8.证明：

1）、正基矢与倒基矢的关系 aibj2ij2 02）、正格矢与倒格矢的关系 Rlh2m（m为整数）3）、两种点阵原胞间的关系(2)

34）、正格子与倒格子互为对方的倒格子（倒格子的倒格子是正格子）5）、倒格矢hh1b1h2b2h3b3与正格子晶面族(h1h2h3)正交.9.说明半导体硅单晶的晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞（Conventional unit cell）中的硅原子数；如果晶格常数为a，求正格子空间原胞（Primitive cell）的体积和第一布里渊区的体积。

10.说明氯化钠单晶的晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞中包含的原子数；如果晶格常数为a，求正格子空间原胞（Primitive cell）的体积和第一布里渊区的体积。11.求NaCl晶体中一个原胞的平均相互作用势能。12.求一维NaCl晶体的马德隆常数。

13.求NaCl晶体的马德隆常数，仅计算至次次近邻。

314.用H原子的波函数（Rn,l, Yl,m）表示出Px, Py, Pz 轨道波函数；写出金刚石中C原子的四个sp杂化轨道波函数。15.问题：证明(2.4－5)可以等价地写成如下形式：

r（1）uij0rij126r02，r0为两原子体系的平衡距离。rij（2）uijrij122rij6，（约化单位：能/，长度/r0）16.写出Lennard-Jones势。

17.计算一位单原子晶格中格波速度（相速度）vp，证明在长波极限（q0），晶格中传播的格波就象在连续介质中传播一样。

18.计算布里渊区边界处格波的群速度，并对结果进行讨论。19.一维双原子晶格，对长声学波（q0，-0），证明： 1）aq2aYqqqv，它与连续介质的色散关系（＝kv）一致，这是-支被称为声学mMmM2a波的原因。2）B1A表明，在长波限，两种原子振幅相同；又相邻原子的位相aq0，故长波限声学波与连续机械波类似。这是-支被称为声学波的又一原因。20.一维双原子晶格，对长光学波（q0），证明：

2Cons.mM说明这结果的物理意义。mMBm1MA21.求三维晶格的波矢空间q点的分布密度。22.证明声子无真实物理动量。23.一维单原子晶格中两个声子q1和q2发生碰撞后形成第三个声子q3,求q3的大小: 1）q1q2;6a2)q1q22.3a24.(2013-11-27改造)二维正方格子，原胞基矢a1aiaj，a2aj，求：

1)倒基矢b1，b2；

2)写出倒易空间中任意倒格点的位置矢量Kh的表达式； 3)画出第一布里渊区；

4)写出倒易空间中声子波矢q的表达式；

5)画出倒易空间中声子波矢q（点）的分布示意图 6)设两个声子q1,q2相撞后变成q3，求q3：

(1)q10.15b10.2b2,(2)q10.3b10.2b2,q20.1b10.2b2 ； q20.3b10.6b2.二维正方格子，原胞基矢a1aiaj，a2aj，求：

1、q10.15b10.2b2,2、q10.3b10.2b2,解： q20.1b10.2b2 q20.3b10.6b2。

（1）由正基矢与倒基矢的关系aibj2ij可得：

b12ˆ2ˆˆi,b2(ij)aa2ˆm2ˆ[(m1m2)ij]

a（2）倒易空间中任意倒格点的位置矢量可表示为

Gmm1b1m2b1（3）如图：

（4）

（a）: 当q10.15b10.2b2,q20.1b10.2b2时，q1q20.25b10.4b22ˆ0.4ˆ(0.15ij)位于第一布里渊区内，所以，a2ˆ0.4ˆq3q1q20.25b10.4b2(0.15ij)a(b): 当q10.3b10.2b2,q20.3b10.6b2时，2ˆ0.8ˆ(0.2ij)位于第一布里渊区外，所以，a q1q20.6b10.8b2q3q1q2G1,10.6b10.8b2b1b20.4b10.2b22ˆ2ˆˆ2ˆ2ˆ0.4i0.2(ij)0.2i0.2jaaaa25.求一个振动模的平均声子占有数。

26.对于cq2，求振动模式密度g()：（a）三维情况；（b）二维情况；（c）一维情况。27.什么是固体热容量的爱因斯坦模型，什么是固体热容量的德拜模型？

28.利用晶格振动的量子理论，导出爱因思坦模型的定容热容CV的表示式，并进一步证明：（1）TE时，CV过渡到杜隆－柏替定律。（2）TE时，此模型不正确。

29.利用晶格振动的量子理论，导出德拜模型的定容热容CV的表示式，并进一步证明（1）TD时，CV过渡到杜隆－柏替定律。（2）TD时，此模型严格正确。30.求一维单原子链的振动模式密度g()。31.求德拜模型的振动模式密度g()

32.计算一定模式（振动模）下原子的振幅与该模式中声子占有数的关系，并对结果进行讨论，说明T＝0时也有振动。33.一边长为L的单价原子立方体金属块，由N个原子组成，将价电子视为自由电子。（1）求自由电子气的能级密度的表

0达式。（2）求T＝0K时，电子气的费米能EF的表达式及电子的平均动能。

34.使用自由电子气模型证明绝对0K下k空间费米球的半径为kF=(3πn), n为电子密度。

35.设有二价金属原子构成的晶体，试证明自由电子费米球与第一布里渊区边界相交（提示：倒格子空间离原点与最近的倒格子间连线的垂直平分面围成的区域位第一布里渊区，也称简约布里渊区）

解：（1）∵T=0时低于费米能EF0的能及全部被电子占据，而电子是费米子，每个状态只允许一个电子占据

00(EFEF)∴f(E) 01(EE)FF21/3在能级间隔E—E+dE中的电子数dN=f(E)ρ(E)dE ∴NdN0EF01(E)dE320EF0203CEdECEF2

3其中C4V(2m)带入上式得：

h232324V(2m)02N(E)F23h设n为电子密度，则n=N/V 3224V(2m)02(EF)∴nV23h32∴E(3n2)3

2m0F2∴T=0时费米球面半径k0F02mEF(3n)

213得证。

（2）二价金属原子构成的晶体，其布拉伐格子为体心立方（bcc），其倒格子为面心立方（fcc）在bcc中a、b、c为晶胞基矢，则a=ai, b=bj, c=ck 原胞基矢：

a1=a(-i +j +k)，a2=a(+i-j +k)，a3=a(+i +j +k)5 24a2a3(jk)13aa则fcc中，244b1(jk)2aab1∴在具有体心立方结构的二价金属原子的一个晶胞中，有4个电子 ∴电子密度n=4/a，代入自由电子费米球面半径k

30F02mEF(3n)得

213面心立方原胞和Wigner－Seitz原胞

面心立方原胞和Wigner－Seitz原胞

0kF

(12)a(12)4.91b124.76aa2aa(12)226.28b1a2aa1231231230kF∵0kF

∴自由电子费米球与第一布里渊区边界相交。

36.由泡利不相容原理，金属中费米面附近的自由电子容易被激发，费米能级以下的很低能级上的电子很难被激发，通常被称为费米冻结。用此物理图像，估算在室温下金属中一个自由电子的比热。

解：电子的热容主要来自金属中费米面附近的自由电子的贡献。在室温T0时，能够发生跃迁的电子数为：N'0EF03EFkBT2dNC0EF03EFkBT29kTEdENB0

4EF（N为自由电子总数）∵每个电子具有的能量为3kBT 2327(kBT)2∴N’个可发生跃迁的电子总能量EN'kBT N028EF2TE27kB∴CVN0

T4EF∴金属中一个自由电子的比热

2CV27kBT C'V0N4EF36-1.（2015加）证明对金属自由电子气的热容量有贡献的电子数约为总自由电子数目的1%。

36-2.（2015加）根据金属热电子发射的电流密度的查孙-杜师曼公式：j=AT2e-W/kBT，证明两块金属I和II的接触电势差是，VVI VII(WI WII)/e

36-3.（2015加）一个电子具有的固有磁矩叫什么，用什么符号表示。电子气磁化率的经典理论叫什么（哪位科学家的贡献），与温度是什么关系？对吗？电子气磁化率的量子理论叫什么（哪位科学家的贡献），与温度是什么关系？对吗？

37.（20分）六角晶体的原胞基矢是

3131aij，cck。aaij，b2222 7（2015-6-29说明：以上有误，应该为a13131）aiaj，a2aiaj，a3ck，相应地以下求解也要改。

22求其倒格矢。

解：原胞体积a(bc)

(32ai12j)[(312ai2j)ck]

(32ai12j)(312acj2ci)

32ac由倒格子基矢的定义

a*2(bc)

23(32ai12j)ck2ac 43ac(32acj12ci)

23a(i3aj)b*2(ca)

23ck(312ai2j)2ac 43ac(32acj12ci)23a(i3aj)c*2(ab)

228 3ac2433 (akak)43ac42kc∴倒格矢Ghhb1kb2lb3

（h,k,l为整数）222h(i3aj)k(i3aj)lkc3a3a

22(hk)i2(hk)jlkc3a38.证明布洛赫定理

39.一电子在如图所示的周期势场V(x)V(xna)中运动，这里，V(x)2(3131aij)(aij)2222V000xc。

cxa求：

1）、将V(x)的展为傅立叶级数，并计算展开系数Vm；

k2）、计算Hk0L(0)*kV(0)k(0)*(0)VVkdx?； dxk0L3）、写出一般微扰理论的二级修正本征能量和一级修正波函数。说明为什么一般微扰理论不适于描述晶格周期场中电子km的状态； amm(1)，利用简并微扰的态kaa4）、对本题周期势场V(x)中运动的单电子，设是一小量（1），对于接近理论求其本征能量表达式；

5）、对0的情况，求电子能量表达式E； 6）、求第一能带宽度和第二带隙Eg。解：

1）于是，V(x)Venni2nxai2anx1，其中，VnV(x)edx

a0a* 9 利用Gnnb2n，Vn可以写为 aVnV0iiGnc1aiGnx*V(x)edxe1 [] 0aaGn1aim2aeV()dVma0k2）Hk03）一级微扰修正的波函数：

2)a [] 2(kkm)a(kkmkHk(0)k(0)(0)EkEk2m)xak(k0)(k1)(k0)'k1ikxVm1i(k =e'2e2mLL22mk(k)2ma

2mixVm1ikxa e1'2e.2m2Lm2k(k)2ma二级微扰修正的能量为：

(0)(2)E(k)EkEkk V'22m22m2mk(k)2ma22Vm2表示对m0的所有整数求和。

mm(2)二级微扰修正的能量Ek在k处发散。显然，这结果没有意义。换句话说，上述计算结果在k处没有意义，aamm不适于描述晶格周期场中电子的状态。出现这种情况的原因是，当k时，存在另一状态k，有矩阵元

aammmkVm0，且这两个状态的能量相等。即态k和态k是能量简并的。[行波k=与其（布拉格）Hkaaam/反射波k=-的迭加形成驻波。]由量子力学知，对于能量简并问题，需用简并微扰来求解（上述计算利用了非简并a微扰理论）。[]

4）设是一小量（1），对于接近kmm(1)的态，kaa 10 与之能量相近，且有作用的态是 kk2mm2mm(1)(1)

aaaa0)(0)按简并微扰论，我们把能量为Ek（为方便记为E）的电子态写成(k和k的线性迭加： 0)(0)a（kbk(1)

2d2由波动方程： V(x)E(x)0(2)22mdx2d2000VEk 并考虑到： kk22mdx2d2000VkEkk 22mdx000得 a(EkEV)0kb(EkEV)k0

上式分别乘以k(0)*和k并积分，可得(0)*0*(EkE)aVmb0(3)0Vma(EkE)b0其中用到:  k|V|kk|(VV)|kk|V|k0 和

kVm  k|V|kk|V|kk|(VV)|kk|V|kHkVm是周期场V(x)的傅立叶展开式中第m 个参数.(3)式有解的条件是

(EkE)Vm解之得, 0Vm0*(EkE)0

（4）

1200E{(EkEk)[(Ek0Ek0)24Vm]2}

（5）[]

21(Ek0Ek0)m005)．对0，表示ｋ（或k）很接近的情况,此时有EkEkVm。对展开（5）式到一级得，aVm 11 Ek0Ek0100EEkEk2Vm24Vm2

（6）222km021VTm(1)EkVV其中2m2ma Ek0VTm(1)2这里Tm表示km的自由电子态的电子动能： a2k22m2Tm()

2m2ma可得，2Tm2VTVT(1)mmmVmE（7）[]

VTV2T(2Tm1)mmmVm6）0时，EVTmVm,（8）

原来能量都等于VTm的两个状态，k其间的能量差称为“禁带宽度”

mm和k，由于它们的相互作用很强，变成两个能量不同的状态E和E，aaEg2Vm

（9）

禁带发生在波矢kmmm和k处，即k（m=1,2,3…）处，禁带宽度等于周期性势能的展开式中，波矢为aaaGmm2的付里叶分量Vm的绝对值的两倍． a第一能带宽度E1EVVT1V1VT1V1，第二带隙Eg2V2 []

40.利用紧束缚方法求简单立方晶格中，1）自由原子S态sr形成的能带函数E(k)，计算E(),E(X),E(R)，并求带宽。（10分）2）画出第一布里渊区中的能带图E(kx)。（10分） 12 3）求电子在带顶和带底及状态k(2a,2a,2a**)的有效质量m*xx,myy,mzz（10分）

解：

n,niK公式 EKiJ0J1Rn,RmeRs

m因为 sr球对称，偶宇称，所以srr，所以 JR,RJ1nm10（对6个最近邻格点的交叠积分相同）

取Rn0则SC的6个最近邻坐标Rm为 a,0,0,a,0,0,0,a,0,0,a,0,0,0,a 0,0,an,n所以 EKsJ0J1expiKam1im2jm3k m sJ02J1cosakxcosakycosakz（5分）

点，K0,0,0；

E0,0,0sJ06J1

K,0,0 X点，a EX,0,0sJ02J1 aR点： K，

aaa 13 ERa,a,aSJ06J1 由于 J10，1cos1，所以E和ER分别是带I的带底（能量）和带顶（能量），带宽为：

ERE12J1。（5分）

（10分）

由 EKsJ02J1cosakxcosakycosakz容易求出电子的有效质量为，2m*xx2a2Jcos1(kxa),12m*yy2a2Jcos1(kya)1

（5分）

2m*zz2a2Jcos1(kza)1所以，22带底：m*()m*()m*1xxyyyy()2a2Jcos(0),12a2J1带

顶

22带顶：m*(R)m*(R)m*(1xxyyyyR)2a2Jcos(a)2J,1a2a1 14

：k(m*xx(2a,2a,2a)处：)m*yy(2a)m*yy(2a2a2)2aJ12cos1(2a

a),（5分）