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简约数学的理论与实践
一、什么是简约？
莎士比亚曾说，简洁是智慧的灵魂，数学知识原理、数学符号语言等本身就是蕴涵着简约之美，简约教学之路符合数学学科的本质特征。
简约：是一种操作要领，一种教学方式，一种理想目标，也是一种教学理念。简约不是新事物，回顾小学数学教育的历程，老一辈特级教师在追求数学教学简约化的道路上早已进行过深入探索，刘德武的“生活化数学”，翟裕康的“四了”教学法便是其中的代表。
近些年，我省南京力学，海安实验小学以及我以前工作的学校都曾围绕简约数学进行过一些有益的探索。2008年9月，金中实小建成开学，经过仔细斟酌和共同研究，数学学科组决定以“简约数学”为学科教学特色和研究方向，并开始了初步的探索。
二、从常态课中的几种现象看简约：
1、教学时间紧。40分钟的时间常常不够用，到了课尾要么仓促收兵，要么严重拖堂。
2、教学内容多。预设的容量大，教学的节奏快，学习似走马观花，又似蜻蜓点水。
3、教学结构散。预设的环节多，重点不清晰，阶段目标模糊。„„
三、简约数学的关注点
简约数学指向课堂，它关注目标，聚焦有效。它提倡删繁就简，保留本质，寓丰富于简单之中，将深刻的道理通过简单的方式和形式呈现出来。
追求简约，可以把更多的时间留给学生，让学生有足够的时间深度学习，实实在在地经历知识建构、内化和应用的过程，有足够的空间表现自己自我，分享快乐，享受数学学习活动的生命价值，教师也才能有时间关注学生的学习过程和情感体验，更好地关注，促进有价值的生成。
三、简约数学课堂的典型特征
就结构而言，主线清晰。俗话说，“提领而顿，百毛皆顺”。简约的数学课堂，一定有一条清晰的“主线”，即贯穿于课堂始终的核心知识及其展开过程的主干脉络。它是课堂教学的“魂”，是确定教学目标，安排教学环节，取舍教学内容，调控教学„„进程的根本出发点和终极指向，主线清晰，教学结构和教学层次就容易清晰，起转承接，轻重缓急就能落到实处。
就素材而言，少而精练。“教育的问题就在于使学生通过树木而见到森林。”课堂教学时间是个常数，加之小学生的精力是有限的，所以要精选教学素材，让学生在完成教学任务的同时达成教学目标。一节课的内容不宜太多，太多了，老师就不易讲清讲透，往往为完成教学显得手忙脚乱，学生则只能囫囵吞枣，一知半解。
四、打造简约课堂，需要做好三件事
一、是研究学生。弄清学生的认知起点。确定教学的现实起点，选准学生思维的接点，使教学贴着学生的“最近发展区”行走。
二、是研究教材。根据学生的认知特点对教学内容合理取舍，凸显主干，挖掘简单的背后的数学思想方法。
三是研究教法。思考影响课堂教学有效性的各个因素，从改变课堂教学时间结构着手，揣摩教法和学法。使学生有足够的时间去看、去想、去做、去说，充分经历数学知识的发现，内化和应用过程。
五、打造简约课堂的初步实践
采用简易的手段。花样繁多的教学手段，会引学生的视觉疲劳，分散学生的注意力，削弱学生对文本对数学知识本身的理解，还会破费教师宝贵的教学时间。教学手段提倡简易实用，能清晰，明了地呈现学习内容即可。
创设简单地情境。为情境而创设情境会让学生感到虚假，过于追求热闹的情境会影响学生静心思考。情境创设提倡简单，谨防形式主义和去数学化的倾向。
选取简约的内容。在尊重教材的基础上时行合理的剪裁、取舍、整合，剔除多余枝丫，选择具有典型性和扩张力的“核心内容”，保持知识的最初结构，凸现教学内容本质。把数学课堂当成一个，什么东西都往里面装，只能使课堂历承载太多的额外任务而变味。
这其中，有些东西不能减掉，想反还需要进一步强化。如，数学课堂所承载的引领学生逐步学会数学思考„„（这是简约的底线）否则，简约就失去了意义。
设计简明的练习。练习目标明确，数量适度，难度适中，层次分明，针对性强，拓展练习具有探索性和思维含量。
安排简化的环节。舍去多余的环节和无效的程序。环节太多，课堂就成了教师“做秀”、学生赶场子的表演，学生很难有时间自主地活动、深入地思考、充分地回味。
锤炼简洁的语言。提问语言、评点语言力求准确精练，防止学生不理解或产生歧义，当出现问题以后再费力解释会浪费教学时间。
六、审视：儿童的数学简约一些又何妨
一）从两项调查看简约
1）从数学课堂标准研制组曾随机对200多名中小学教师和大学数学系研究生做过一次调查，问题是“当你看到数学这个词，你首先想到的是什么？”结果显示，76%的被调查者首先想到的是计算，公式和法则，20%的被调查首先想到的是烦，枯燥，没意思。只有4%的被调查者首先想到数学使人聪明，数学有趣、有用。而面对同样的问题，小学生的回答更是千奇百怪：数学就是计算；数学就是数字；数学就是解决问题；
2）99.95%以上的不以数学为职业，绝大多数人一辈子不解一元二次方程，不需做几何证明题，更不会用到文为诟病的奥数题„„ 我们应该好好反思作为基础的儿童的数学！
二）从课程标准看简约
如今，虽然不少版本小学数学教科书的内容编排已经作了较大调整，但我们依然可以发现繁、难、偏的内容程度不等地存在。而《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)指出：义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。因此，小学阶段的数学更应该以促进学生整体发展为本，体现基础性和普及性的基本精神。基于此，儿童的数学简约一些又何妨?
小学数学不应该是一张“筛子”——将数理逻辑智能相对薄弱的学生淘汰出局。每一个身心发育正常的学生都应该能够学好数学，达到《标准》所拟订的目标。我们应该从有利于所有学生发展的角度，来审视哪些内容可以简约，哪些内容还不能简约。并以此为线索，对整个小学阶段乃至更大的范围的教学内容进行一次系统梳理、严谨论证和科学调整。
三）从教材的变化看简约
事实上，回首走过的路，人们从未停止过追寻数学教学内容的简约。早在新一轮基础教育课程改革之初，数学教育界就开始在这条路上作了很多有益的尝试：
统一了“乘”和“乘以”的说法。将数字“0”明确界定为自然数。删减了步骤多、数据大的繁杂运算 减少了解决实际问题的步骤„„
„„要知道，原先这些都是需要老师苦口婆心地教，学生不厌其烦地学而效果却不很明显的内容。实践证明，对这些知识仅作了一些小小的改动和调整，就在很大程度上解放了老师和学生。
七、追寻：儿童的数学简约的方法
我们知道，一个人数学素养的高低，主要体现在是否能“数学地看问题”和“数学地思维”，而不是仅仅体现在是否能解决数学难题上。从这个意义上说，现行数学教材中那些对学生来说犹如“天外来客”般难以琢磨的内容是要简约的；那些必须通过高强度训练但效果普遍欠佳的内容是需要简约的；那些偏离《标准》要求的内容是需要简约的„„一言以蔽之，那些对学生终身发展价值不大的教学内容需要科学、合理地简约。
1）教学用具的简化。模型、图片、工具等数学用具，是学生数学学习的支架。科学、合理地简化数学用具，可以提高学生学习的效率。以《角的度量》教学为例。对于课中普遍出现的问题，笔者揣摩：是不是量角器的两圈刻度给学生带来了不便?倘若量角器只有一圈刻度，结果又会怎样呢?带着这样的想法，我们借用四年级两个平行班进行了实验教学：A班学生使用有内外圈刻度的旧量角器，B班学生使用修正液涂抹掉外圈刻度而只剩下内圈刻度的新量角器。同样的设计，同样的教师，基本同样的学生，却出现了不一样的课堂：在A班课堂上，教者虽然小心翼翼地组织了多次练习，训练学生摆放量角器的位置以及确定内外
圈刻度的方法，使他们体会根据角的开口方向摆放量角器的技巧，但仍感觉有些纠缠不清。而在B班的课堂上，学生学习很顺利，连度量不同开口方向的角这一难点内容也轻松解决了。学生也认为只有一圈刻度的量角器让人一目了然，只要“将角的顶点和量角器的中心点重合，一条边和0刻度线对齐，看另一条边所指的刻度，”就能得出正确的结果。课后，笔者分别在这两个班和另外两个五年级平行班组织了同样的检测，结果显示：使用简化后的量角器，更便于学生掌握量角和画角的方法，正确率也有很大提高。
2）语言表达的简化。我们知道，同一件数学事实，同一个数学知识，可以有不同的表述方式。丰富的表述虽然有利于学生更好地理解数学事实，掌握数学知识，但适当地简化表述形式，也能减轻广大师生的困扰。这里以“除”和“除以”为例。众所周知，“除”和“除以”是两个既有联系又有区别的概念,“A除B”列式为“B÷A”,而“A除以B”则列式为“A÷B”，一字之差，意义迥异。实际教学中，“除”和“除以”的教学耗费了教师和学生大量的精力，而投入与产出却反差明显。一次调研试卷上的一道错误率较高的经典文字题：0.8与0.4的和除它们的差，商是多少?笔者对该题的错误进行了统计和分析，发现因算式中被除数和除数位置颠倒而出错的学生超过了1/3。虽然我们平时教学和考前复习都进行了大量的针对性练习，且一再强调“除”和“除以”的区别，但结果仍然不够理想。笔者认为，“除”和“除以”的说法完全可以统一起来，把“除”看成“除以”的简称，从而把学生从中解脱出来,以便有更多精力去学习有价值的数学。
3）人为规定的简化。数学教学内容中有许多约定俗成的人为规定，合理地简化这些规定，同样可以减轻学生的学习负担。以教科书上关于圆周率的规定为例：圆周率是一个无限不循环小数，计算时一般保留两位小数约等于3.14。相对于原本的无限不循环小数，这虽然已作了很大的简化，但圆的周长或面积计算依然比较复杂。特别是已知圆的周长，要求圆的直径、半径或面积时，学生将面临除三位数的笔算除法。这在《标准》中已不要求笔算，而要求学生使用计算器计算。可问题是，当学生走进考场，没有计算器的支持，他们又该如何应对这样的问题?事实上，一线教师早就发现，每当学到圆以及与圆相关的圆柱、圆锥等知识时，困扰师生的不是解决具体问题的方法，而是计算经常出错。为了应试，许多老师便要求学生熟记一些常用的与圆周率有关的数值，以提高计算的速度和正确率，确实用心良苦。笔者认为，既然可以将圆周率保留两位小数取近似数，当然也可以直接将圆周率精确到个位。再说，初学圆周率时，学生能很快探索出圆的周长总是它直径的3倍多一些，至于多多少是很难发现的，圆周率的值包括近似值3.14，大多是教师直接告诉学生的。笔者感觉，探索之后，教师顺势引导学生将圆的周长近似地看作直径的3倍，学生是很容易接受的，更为重要的是，后续内容的学习将更加便利，至少减少了计算的繁琐程度。
当然，儿童数学内容的简约还有很多途径。我们可以对解题方法进行简约，让学生获得一种一以贯之的学习策略，促进知识迁移，如现行教材中直接采用列方程的方法，解决需要逆向思考的数学问题；可以调整学生在进一步学习中能够自然解决的问题的呈现顺序，让学生的学习“自然地生长”，如由于统计思维与确定性思维有很大差异，统计与概率的学习依赖于人的辩证思维发展，而辩证思维从初中二年级(14岁)开始萌芽，因此这一内容教学后移更加科学；还可以删减当前难以掌握且用处不大，也不影响学生进一步学习的内容，从而切实减轻学生的学习负荷和精神负担„„
从这个意义上说，我们该好好反思作为基础的儿童的数学。
八、深思：儿童的数学简约的底线应有度
当然，我们不能一味简单地追求数学教学内容的简约，否则，学生就会因为缺少必备的数学基础而影响自身的发展。
我认为，小学数学教学最主要的任务是要把学生的基础打好。对于小学数学“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”三个领域的“双基”，即基础知识和基本技能，一般是不能简约的。这些是学生素质结构尤其是数学素养中最基本的“因子”，缺少了，学生就难以参与进一步的数学学习，更谈不上让数学满足他们在未来社会生活和生产中的需要了。显而易见，“双基”仍然应该是学生数学学习的重点，中国数学教学“双基”扎实的优良传统仍然需要保持和发扬。
布鲁纳指出，所掌握的知识越基础、越概括，对新学习的适应性就越广泛,迁移就越广泛。需要思考的是，在课程改革的背景下，我们对“双基”及其教学应该有怎样的理解。笔者认为，搭建数学课程框架的主干知识、基本技能，及其
所蕴含的数学思想方法，社会发展对人的发展提出的新要求所涉及的基础知识和基本技能,应当成为当下学生必须花费时间和精力去牢固掌握的“双基”。“双基”的教学应当有高起点，也即要以培养学生的数学能力和创新精神为目标取向。我们要引导学生经历知识的发现过程和应用知识解决问题的过程，启迪学生的思维，开发他们的智力，发展他们的数学观念，提高他们的数学能力，为学生的数学发展奠定坚实的基础。
另一方面，那些与学生的现实生活和已有知识经验联系紧密的综合应用和探索性内容,即使有一定难度，也不应该人为地简约。事实上，让每一个学生都对数学达到最喜欢的程度是不可能的，对于那些不太喜欢数学的学生，教师应该实事求是地尊重学生的选择，对他们提出基本要求；而对于那些特别喜欢数学的学生，则应当为他们创造更多的学习数学的机会和条件，培养他们的数学特长。所以，我们可以通过分层教学，让不同的学生获得不同的发展，收获自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识和实践能力等重要的公民素质，进而愿意亲近数学、了解数学、应用数学，学会数学地思考。这样的数学学习体验，学生会因此而感受到生活的丰富多彩，感受到数学学习的内在魅力。这不正是在数学课堂中实施素质教育的生动体现吗?
由此可见，在践行儿童数学简约的路上，许多时候需要对所有转变成习惯套路的模式提出寻根问底的质疑，对那些被日常化了的操作概念进行教育学意义上的追问。惟有这样，追寻教学内容的简约才能真正实现其应有的意义。
