最优控制试题答案(在职研究生班)2_在职研究生课程班

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广西工学院在职研究生班课程《最优控制》参考答案

一、简答题

1、系统数学模型、边界条件与目标集、容许控制、性能指标。

2、积分型性能指标，末值型性能指标，综合型性能指标

3、控制向量不受约束，且是时间的连续函数。

4、控制向量受到约束，哈密顿函数对控制向量的偏导不存在时。

5、状态调节器问题；输出调节器问题；跟踪问题。

6、不论初始状态和初始决策如何，当把其中的任何一级和状态再作为初始级和初始状态时，其余的决策对此必定也是一个最优控制。

二、计算题（70分）

1、解

本题 tf固定，末态自由。由题意

L1x 欧拉方程

LxdLdt2

2x0

x解得

xtc1tc2 由边界条件

及横截条件

Ltf1

2x0

x解得

c1=0 ,c2=0 故所求极值曲线为

xt0



2、解

本题是求解最短曲线问题，可以将性能指标设定为曲线长度函数的积分，当该指标为最小时，所得的曲线即为最短曲线。

根据几何知识，在直角坐标系中弧线元的长度表示为



ds(dt)(dx)221x2dt

设性能指标为

Jtfto1x2dt



由题意可知，tf固定，末态固定，L1 LxdLdtx2，由欧拉方程

0，xx2c2（常量）

解得

x(t)=ct+d

根据边界条件，可得c=1,d=0,故所求曲线为：

xtt



3、解

本题为定常系统，tf固定，末端自由，末值型指标，控制受约束的最后控制问题，可采用极小值原理求解。

由题意知，性能指标为末值型的，即

x(tf)2x2(1)x2(1)令哈密顿函数

H=1(x1u)2x1

协态方程

12Hx20，2c

Hx112,1c1ec2，t横截条件

1tet11,2t1 求出 c1=et1+1,c2=1,则有

1tet11,2t1

1,10极值条件

u(t)sgn(1)

1,01因为1tet11>0,t0,1,故可确定

u(t)1,0t14、解

根据性能指标的形式，可知本题是线性二次型问题，且是有限时间状态调节器问题。

由题意知

A=12，B=1，F=10，Q=2,R=1 根据里卡蒂方程

PAPPAPBRT1BPQ,P(tf)FT

代入相应的A、B、Q、R、F，有

求得可得

dP(P1)(P2)P1P2PP2P2(P1)(P2),P(tf)

dt,(1P1P11P23t)3dt

lnln3tc1,P2c2e

因P（1）=10，求出c20.037,于是

P(t)10.074e10.037eT3t3t

3t3t故最优控制为

u(t)RBPx110.074e10.037ex(t)

5、设有一阶系统

xxu,x(0)1

1其中u1，试求使下列性能指标 解: 哈密顿函数

Hx12J(x012u)dt*为最小值的最优控制u(t)。

u(xu)x(1)u(12)

12根据极小值原理，使哈密顿函数绝对极小，就相当于使性能指标极小，因此要求u(极小，由于u1，故取

11,当*2u1

1,当2)由协态方程 Hx1

t解得

ce1

1由横截条件

(1)ce10

求得

c1e

t1于是

e1

显然当(ts)12时，产生切换，ts为切换时间，有

12ts1e1，即

12ets1

解得

ts0.3069 故最优控制

1,当0t0.3069u

1,当0.3069t1*