二次函数闭区间上的最值问题_二次函数闭区间最值

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二次函数闭区间上的最值问题与根的分布一、二次函数闭区间上的最值问题

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.2 设f(，求x)axbxc(a0)f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。b2a 分析：将f(x)配方，得对称轴方程x

当a0时，抛物线开口向上

若 若b2ab2a[m，n]必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； [m，n]

b2a 当a0时，抛物线开口向上，此时函数在[m，n]上具有单调性，故在离对称轴x较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a0时

f(x)maxb1f(m)，(mn)(如图1)2a2 b1f(n)，(mn)(如图2)2a2 f(x)minbf(n)，n(如图3)2abbf()，mn(如图4)2a2abf(m)，m(如图5)2a

当a0时

f(x)maxbf(n)，n(如图6)2abbf()，mn(如图7)2a2abf(m)，m(如图8)2a

f(x)minb1f(m)，(mn)(如图9)2a2 b1f(n)，(mn)(如图10)2a21.定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

x4x2 例1.函数y在区间0，3上的最大值是_________，最小值是_______。2 1

例1： 解：函数y是定义在区间0，3上的二次函数，其x4x2(x2)2对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f(2)2，最小值为f(0)2。

例2.已知2x3的最值。)xx1x，求函数f(x2222 例2： 解：由已知2x3x，可得0x232，即函数f(x)是定义在区间0，3上的二2113次函数。将二次函数配方得f(x)x，其对称轴方程x，顶点坐标224331且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0，内，如图2所示。函数f(x)，，242193。242的最小值为f(0)1，最大值为f2b4acb 解后反思：已知二次函数f(（不妨设a0），它的图象是顶点为x)axbxc，、对称轴为

4a2a2xb2a、开口向上的抛物线。由数形结合可得在m，n上f(x)的最大值或最小值：

acbb4（1）当m，n时，f(x)的最小值是f)、f(n)中的较大者。，f(x)的最大值是f(m2a4a2ab2（2）当 若b2am，n时 b2am，由f(x)在m，n上是增函数  则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)

若nb2a，由f(x)在m，n上是减函数  则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)2.动二次函数在定区间上的最值

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知x1，且a，求函数f(的最值。x)xax320221x1，a2 例3：解：由已知有，于是函数f(x)是定义在区间1，1上的二次函数，将f(x)配方得： aa f(x)x32422

二次函数f(x)的对称轴方程是xa2

2aa 顶点坐标为，3，图象开口向上

42 由a2可得xa21，显然其顶点横坐标在区间1，1的左侧或左端点上。

 函数的最小值是f(1)4a，最大值是f(1)4a。

例4.已知二次函数f(在区间4，1上的最大值为5，求实数a的值。x)ax4axa1 例4： 解：将二次函数配方得f，其对称轴方程为x，顶点坐标为(()xa(x2)a4a12，a4a1)，2图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间4，1上。

若a0，函数图象开口向下，如图4所示，当x时，函数取得最大值5 2 即f(2)a4a152222220

解得a21 故a 210(a210舍去)若a0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x1时，函数取得最大值5 即f()15aa152或a6 解得a1

故a1(a6舍去)

210或a1 综上讨论，函数f(x)在区间4，1上取得最大值5时，a

解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。3.定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例5.如果函数f(定义在区间t，x)(x1)1t1上，求f(x)的最小值。2x)(x1)1 例5： 解：函数f(，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图6所示，若顶点横坐标在区间t，t1左侧时，有1t。当xt时，函数取得最小值 2()xf(t)(t1)1 f。min21t1t1 如图7所示，若顶点横坐标在区间t，即0。当x1时，t1上时，有t函数取得最小值 

f()。xf()11min 如图8所示，若顶点横坐标在区间t，即t0。当x时，11t1t1右侧时，有t函数取得最小值

f()xf(t1)t1min2 综上讨论，f(x)min(t1)21,t11,0t1 2t0t12 例6.设函数f(的定义域为t2x)x4x4R，求函数f(x)的最小值(t)的解析式。，t1，对任意t 例6： 解：将二次函数配方得：

f()xx4x4(x2)8 其对称轴方程为x2，顶点坐标为(2，8)，图象开口向上

若顶点横坐标在区间t2，即t4。当x时，函数取得最小值 t2t2，t1左侧，则2 ft(2)(t4)8t8t8 若顶点横坐标在区间t2，即3。当x2时，函数取得最小值 22t1t4，t1上，则t f(2)8

若顶点横坐标在区间t2，即t3。当x时，函数取得最小值 12t1，t1右侧，则t ft(1)(t3)8t6t1222222t28t8(t4) 综上讨论，得(t)8(3t4)

2t6t1(t3)4.动二次函数在动区间上的最值

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

4ax(a)(a0)(x3)y的最小值为4，求参数a的值。

例7.已知y，且当xa时，Sa(xa)代入S中，得

例7： 解：将y42222S(x3)4a(xa)2x2(32a)x94a222

2x(32a)12a8a32a，12a8a)，图象开口32a 则S是x的二次函数，其定义域为xa，顶点坐标为(，，对称轴方程为x向上。

若3，即0 2aaa1

2

则当x时，S 12a8a432a最小 此时，a1，或a212 若3，即a1 2aaa(32a)12a8a4 则当x时，S a最小22，a1 此时，a5，或a1（因a1舍去）

综上讨论，参变数a的取值为a1，或a12，或a5

另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。课后练习：

区间最值问题答案