一道课后数列复习题的几种变式探究_数列的综合复习题

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一道课后复习题的几种变式探究

颍上二中

刘强

摘要：通过近几年对高考数学命题的方向和题目的来源以及受到省内一些高校教授的启发，我发现：很多高考数学试题都可以在课本中找到他们的影子，不少试题是由课本教材中的例题、练习题或课后习题与复习题中变化而来，所以，我写下一点自己的感悟，以期能对我们平常的教学和学生的学习方式、方法的改进起到一定的帮助。关键词：复习题 变式 探究

北师大版高中数学教材（2011年6月第6版第1次印刷）必修五第38面复习题一A组第2题：

已知数列an中，anan12(n2)且a1=1，则这个数列的第10项为（）

A.18

B.19

C.20

D.21 解：由题意可知：数列an为首项a1=1为公差d=2的等差数列，所以由ana1+(n-1)d可知:a10=1+(10-1)219所以本题选B 分析

本题考查等差数列的定义及通项公式。

由此题的形式，笔者联想到本题可有以下几种常见的变式.变式一

已知数列an满足a11，an1ann，求其通项公式an。2解：an1annan1ann

a2a11aa232

a4a33

......anan1n

1将上述n1个等式相加可得：ana1123...(n1)

即ana1(n1)(1n1)n(n1)221n(n1)1n(n1)1又a1an 2222分析

此种变式属于an1anf(n)型，其解法为：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

变式二

已知数列an满足a12，an1解：an1ann ann1n1ann1nan，求其通项公式an。n1a21a21a32a32a 4

a34......ann1ann1

将上述n1个等式相乘可得：

由因为a12，所以an2 nan123n11... a1234nn分析

此种变式属于an1f(n)an型，其解法为：把原递推公式转化为an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an变式三

（2011，重庆,文,14）

在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_____

（an+）解：an12an3可设an1+=2即an1=2an+=3（an+3）又a1+31+3=an1+3=

2所以，数列an+3是首项为4，公比为2的等差数列，4所以

an+3=n12=n12ann12 3分析

此种变式属于an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）型，其解法（待定系数法）为：把原递推公式转化为：an1p(an)，其中q，再转化为等比数列求解。p1511,an1an()n1，求其通项公式an。632112解：an1an()n12n1an12nan1

3232

设bn2nanbn1bn1

322

设bn1(bn)即bn1bn13

3333254

bn13(bn3又)b13a2323136342

所以数列bn3是首项为，公比为的等比数列，334222

bn3(n)12(n)bn=32 n()3333232()n2n3n12n1n3

2an=32()an nn326变式四

已知数列an中，a1分析

此种变式属于an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。

（或an1panrqn,其中p，q, r均为常数）型，其解法为：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1，得：

an1pan1n引入辅助数列bn（其中n1qqqqbnanp1），得：再待定系数法解决。bbn1nqqqn21变式五

已知数列an中，a11,a22,an2an1an，求其通项公式an。

3321解：an2an1an可设an2san1t(an1san)

3321tst1t3(ts)an1stan)3 1或1sst3s13

an211

不妨取t,s1

an2an1(an1an)

又因为a2a1211所以数列an1an是首项为1公比为的等比数列，311

an1an1()n1()n1

33a2a11a3a2(1)131

a4a3()2

3......anan1(1)n23

将上述n1个等式相加可得：

111ana11()1()2...()n2333111[1()n1]3()n233141()317()n23

又因为a11，所以an 4分析

此种变式属于an2pan1qan（其中p，q均为常数）型，其解法(待定系数法)为：先把原递推公式转化为an2san1t(an1san)

pts

其中s，t满足。

qst变式六

设数列an满足：a14,an+13an2n+1,，求其通项公式an

解：an+13an2n+1,可设an+1x(n1)y3(anxn+y)

2x2x1

an+13an2xn+2yx

2yx1y1)1a3n(n

an+1(n1+又1),a1+1+14 +1+1=6

所以数列an+n+1是首项为6，公比为3的等比数列，1n32n 3

ann+16nn1

an23 分析

此种变式属于an1pananb(p1、0，a0)型，其解法为：一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列。

以上内容是我根据课本教材结合当前的高考命题的一点特点和平时的教学所作出的一点变式探究，我的想法是，我们能否在平时教学时首先由老师尝试这样的探究，当学生已经有所适应后，教师能否引导学生自己去尝试这样的探究，慢慢的接受这种学习的方式，我相信：这样对学生高中数学的学习应该有一定的帮助。