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解析几何的历史与应用
地（州、市）：克拉玛依市克拉玛依区 学校名称：北京师范大学克拉玛依附属中学
所在年级： 高二年级 起止时间： 2013年 10月至 2014年 5月
项目组长: 李琪璐（第一执笔人）项目申报人：李琪璐 韩晨阳 曹江山 陈锦兴 李世锐 张鸣起 魏成儒 陈权
指导教师： 蔡祎雯（）
联系电话: *** 电子信箱（QQ）： 1343851040
解析几何的历史与应用
摘要：在我们的学习几何的过程中，空间直角坐标系为我们提供了巨大的帮助。但我们对它的历史却知之甚少。本文将首先介绍解析几何的历史，而后介绍解析几何几种例题解法，最后，归纳出解析几何在应用中的几种方法。关键词：解析几何
我们所说的解析几何包括两部分，其一是平面解析几何，其二是立体解析几何。这两样工具，使得几何学和代数学建立了联系，让复杂的几何推理证明变成了相对较为简单的代数运算。1.解析几何的历史 1.1解析几何的诞生
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。1.2解析几何的创造者――笛卡尔
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。2.解析几何的基本内容
在解析几何中，首先是建立笛卡尔坐标系（又译为“平面直角坐标系”或“立体直角坐标系”）。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系xOy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。解析几何部分蕴含的主要数学思想总结 3.1 数形结合思想
思想有两方面，一方面是“以数助形”即在解决问题时通过图形的直观帮助解题；另一方面是“以形解数”即在解决问题时通过数的计算解决几何问题，体现了数与形巧妙结合。研究数学的给出条件与所要解答问题的关系，分析其中的代数意义和几何的直观，使数与形有机的结合，是数形结合思想的本质。数形结合思想汲取了代数和几何方法的优点，在学习中经常会应用，在解析几何部分试题中得到了体现。运用数形结合思想首先在解析几何部分要掌握一些曲线的代数特征，在分析具体数学问题时，要分析其中所包含的代数问题和几何问题两个方面，然后设出合理的参数，建立相应的关系，做好数量与图形之间的转换，最后根据题目要求确定所设的参数。解析几何解题过程中恰当使用通常会达到事半功倍的功效。3.2 分类讨论思想
分类讨论思想是指在解决某一较难且复杂的问题时，选择一个合理的切入点，按照一定的标准将其不重不漏的进行分解，使复杂的大问题变成简易单一的小问题，然后再将小问题进行综合，进而将原来的问题解决。在解析几何部分题目中导致分类讨论主要原因有：
（1）不确定的相互位置关系引起的讨论，例如：直线与 x 轴垂直和不垂直两种情况。
（2）分类讨论也可能是因为参数的变化，例如：含参数的方程，当参数取不同的值，会对应不同的方程。3.3 函数与方程思想
函数思想是指，在一些数学问题的处理过程中，构造一个与其相关的函数，然后根据该函数的性质来分析和解决该问题。解析几何部分知识经常用到函数与方程思想，比如初中所学二次函数的方程可以用来研究抛物线的图像与性质。在解析几何部分中，一些最值问题就是利用函数的性质求解。3.4 化归转化思想
化归转化思想是指，将未知的条件向已有知识转化的过程。比如数量与图形关系的转化、方程与函数的转化、变量与常量之间的转化等等都是我们在解析几何部分经常用到的。化归转化思想的关键在于要透过表象看到本质，通过适当的转化将问题解决。4解析几何的实际运用 4.1应用方法概述
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何,最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化、数量化。即在空间中建立了坐标系,使空间内的点与有序三数组建立起一一对应的关系,因而空间内的一个曲面可以由带三个
变量的一个方程表示,也即实现了曲面的“代数化”。这样,几何问题就可以转化为用代数形式表示,在求解析几何问题时,就可运用代数方法进行研究。其过程可表示为:
4.2.1应用典例
4.2.1.1证三角条件等式
已知：2cosα+3sinα=2(1)2cosβ+3sinβ=2(2)其中α-β≠2kπ(k∈Z), 得 证明：5cosα+5cosβ=-5cosα5sinβ。
由(1)与(2)可知,点(cosα,sinα)与点(cosβ,sinβ)是直线2x+3y=2上的两点;由圆的参数方程可知,点(cosα,sinα)与点(cosβ,sinβ)又是圆错误！未找到引用源。的两点。即点(cosα,sinα)与点(cosβ,sinβ)是直线2x+3y=2与圆错误！未找到引用源。1的两个交点。
将:错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。∵cosα, cosβ是方程错误！未找到引用源。的两个根∴由韦达定理得
cosα+ cosβ=错误！未找到引用源。, cosαcosβ= 错误！未找到引用源。∴5cosα+5eosβ=-5cosα5sinβ错误！未找到引用源。
将点(cosα,sinα)与点(cosβ,sinβ想象为真线2x+3y=2与圆错误！未找到引用源。1的两 个交点,、是证14.2.1.2不等式与图形的转化：
解不等式错误！未找到引用源。>x-1 令 y=错误！未找到引用源。y=x-1的关键所在。
而将 y=错误！未找到引用源。两边平方后得到错误！未找到引用源。
这是以(1,0)为圆心,以 1 为半径的上半圆;y=x-1 是斜率为 1, 在 y 轴上截距为-1 的直线。满足不等式的图形是圆在直线上方的部分。
因此, 求出直线和圆的交点横坐标
∴不等式的解集为 x∈[0,1+ 错误！未找到引用源。）
说明: 将不等式转化为可画出图形的两个函数, 这样就把不等式
问题转化成“图象高低”问题, 然后取交点, 指出满足条件的横坐标范 围, 即是不等式的解。
4.2.1.3函数与图形的转化：
函数错误！未找到引用源。=(x-2001)(x+2002)的图象与x轴、y轴有三个交点,有一个圆恰
经过这三点,则此圆与坐标轴的另一个交点是（）
A.(0,错误！未找到引用源。)B.(0,1)C.(0,错误！未找到引用源。)D.(0,错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。的图象与二轴的两个交点分别为（0，2001）（0，-2002）,与y轴的交点为(0,-2001x2002),本题若采用代数方法,应先由三点确定回方程,再求该圆与坐标轴的另一个交点,这种解法思路清晰,但运算繁复,且不易得到正确的结果.若利用相交弦定理,只须设另一个交点为(0,m),则由2001X2002=(2001x2002)·m,可得m=1,即得正确答案B。4.2.1.4平面向量数量积的应用：
已知椭圆错误！未找到引用源。=1(a＞b＞0)的离心率为错误！未找到引用源。，Q（1.错误！未找到引用源。）在椭圆C上，A,B分别为椭圆的左右顶点。（1）求椭圆C的方程!（2）若P是椭圆上异于A，B的动点，连接AP,BP并延长，分别与直线l：x=4相交与错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，问：
在x轴上是否存在定点D使得以错误！未找到引用源。为直径的圆恒过定点D?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由。
(1)易求得椭圆方程为错误！未找到引用源。
(2)要判断以错误！未找到引用源。为直径的圆是否恒过定点D，若先写出该圆的方程,再将点D的坐标代入验证,运算量太大。可等价转化为错误！未找到引用源。,该数量积的运算仍以坐标法更简洁,考虑到点错误！未找到引用源。均随着点D的移动而改变,故以点D的坐标为自变量表示错误！未找到引用源。设P（错误！未找到引用源。）,则直线错误！未找到引用源。直线错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。
设错误！未找到引用源。由错误！未找到引用源。知错误！未找到引用源。故t=1或t=-7时，错误！未找到引用源。，即存在定点D（1,0）或D（-7,0）满足题意。
4.2.2方法归纳 4.2.2.1坐标法
当空间中建立直角坐标系之后，点就有了坐标，而作为动点运动轨迹的曲线是曲面，就可以用坐标法，把几何问题转化为代数问题，对代数的方程进行计算和推理，得到相应的几何结论，从而解决几何问题的方法。而解析几何运用坐标法可以解决的基本问题为：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标法来建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。运用坐标法解决问题的步骤是：首先在空间上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后再运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。4.2.2.2向量法：
根据问题特点引进向量，再利用向量有关性质及其运算规律实现几何证明的一种思想方法。例如：平面方程、直线方程是前面向量共面共线条件的应用；两条直线关系就是利用了空间中三个向量混合积为零或者不为零来进行判断的；而在用向量证明初等几何问题，是应用空间解析几何知识来解决初中数学问题的典型内容。5.结语
解析几何是数学中最基本的学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具之一，解析几何是几何、代数和一般变量相结合的产物，微积分建立过程中第一个决定性的步骤就是解析几何的创立，是数学专业后续课程的必要基础，该门课程能够培养我们的空间想象能力和抽象能力，提高我们认识和处理数学数形关系能力。通过对解析几何的学习，使学生能够很好掌握解析几何的思想、方法，并用这种思想方法来解决实际问题，体现了学习能力和应用素质的统一。
附件1：查阅参考文献（因文件限制仅展示截图）
附件2：小组分工
附件3：心得体会
心 得 体 会
回顾这段快乐而又难忘的时光，有时茫然，有时失落，但更多的感受来源于小组中思想火花碰撞时的那一刻所带来的喜悦。
此次的学习，每个人都获益匪浅，不仅解决问题的能力和思维方式得到了提升，更使我们对“数学”产生了新的认识和理解。
一、兴趣带来动力
在研究过程中，能体会到数学的魅力和“神奇”，它或许像一个神秘的礼盒，打开它，指不定会有什么令人振奋的发现，这使小组中的每个人对数学产生了好奇与浓厚的兴趣。
二、团队合作，探索前进
在课题开始初期，每个人都有些茫然，不知道要做什么。但随着小组内的不断交流、探讨，首先确定了课题《解析几何的历史与发展》。有了明确的主题，研究方向确定了，之后开始了不断的交流、不断的否定，最终达成一致，这一整个磨合探索的过程，就像是在完成一幅具有高品味的画，必须要先构出大概框图，再经过不断的修改与重复，把握每一个细节，最终当这幅画完成时，你就会发现，原来，一切都是值得的！
三、最终目的在对“解析几何”的研究过程之中，无形中就学到了课本之外的东西，一份份的收获也是从研究中所得到的，与此同时，对数学也有了更多的了解与掌握，如：解析几何的发展历程、平面直角坐标系的应用等。
虽在本次课题中学到了许多，但这只是数学的冰山一角，并且在对“解析几何”的研究中，有了对“数学”的基本认识，这使得我们对数学产生了极大兴趣。这应该是此次活动最大的收获，也是这次学习的最终目的。
感言：在探索中求知，在求知中探索。
我相信，不停的求知，才能有更好的发展
不停的探索，才能有更好的创新!附件4：我们的故事与收获
在此次学习性研究当中，我们小组成员为此相互讨论与探究。众所周知，在解析几何问题中，最重要的是严谨的过程和对数字，参数，图像的处理。当我们面对这些未知的事物，未知的知识，我们小组对其展开了深刻的讨论与探究也充满了收获，如下：（1）在几何证明中存在着个人对于一点问题或某概念认识不足的问题，针对此类事件，我们便对其实行任务型划分。每人，对于某个具体事件，专项的表达，对于某一案列的具体分析和重点都有明确分工。
（2）不管是面对学术性的专攻还是对于典型题目的总结，设计，编排，对于参与者的我们都是一种挑战，一种面对新事物，一种学术性较强的领域上的站在巨人肩膀上的眺望。
（3）面对未知却又即将熟悉一切的我们，从原本的解析几何的模糊认识，到现在的清晰。小组中的成员也从陌生的同学成了亦师亦友的同伴。因为我们对未知事物的好奇，对世界的定义，对所看见的一切都太过幼稚，所以我们学会了团结与探索。（4）从讨论中得我们了解到什么是几何，什么是我们眼中的世界是由什么组成。笛卡尔所发明的直角坐标系使整个数学发生了崭新的变化，开起了变量函数时代。使我们现在的数学发生了革命般的变化。
（5）该变的不只是数学，而是整个世界。假设，仅仅是个假设，没有了数学的我们还剩下什么。凭心而论，我们只不过是一个生物，在改变自己的同时，偶尔去发现一下世界。
（6）不管是解析几何还是整个数学史，没有正真的学术性的研究，没有明白有时一个灵感的火花可以点燃世界的那种疯狂。也许只是一点灵感，只要一点，一个火花，可是你要让它燃起，需要付出的太多太多，比如，一切。(7)可能你想不到什么是数学家，他们就是一群天才，用自己的生命在点燃世界，他们是伟大的。可能之前的我们没有资格去体会到这些，但是，你用你的努力，去换取你想得到的成果，才能从中体悟到什么。而那些所谓的数学家，一天用15个小时的时间去计算，我们的财富不过是建立在他们成果上的一点应用罢了。（8）围绕着解析几何这个专有名词而讨论的我们，在不知不觉中体会到了很多。
