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襄樊学院毕业论文
开题报告
周自航
数学与计算机科学学院数学与应用数学0811班
数学史上对方程根的求解与现实意义
姓名：周自航专业：数学与应用数学学号：08109012
指导教师：游学民
一、研究目的和意义
方程是数学一大学科中不可或缺的重要内容，在数学史上对方程的研究以及对形形色色的方程求其解的也比比皆是。
我国古代文献《九章算术》中对“方程”一词的解释是：“方”，训“并”；“程”，标准；“方程”，就是“并而程之”。所以刘徽界定“方程”说：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。”
国外为了解决某些种类的数学问题而找到的任何法则都是用语句把它记下来，因为那时字母表示法还没有发明。“代数”这个字本身是由九世纪的花剌子模学者的最重要的著作的名称产生的，这个学者叫做穆罕默德·阿里·花剌子模，在他的著作里产生了第一个解一次及二次方程的一般性法则。在欧拉的书中第二部分里包含有一次方程及一次方程组的理论，二次方程的理论以及用根号解三次与四次方程的理论，并且在那里面还有各种整数不定方程的解法这类广泛的题材。国内外对于方程的理解以及对于方程求解的方法我们可以归纳总结，进而运用现如今更系统的方法、更科学的数学工具来概括古代求解方程的问题里更具有普遍性的多元多次方程。
二、国内外研究现状和发展
解几元几次方程中。“元”即代表着未知量，二元即两个未知量，三元即三个未知量；“次”代表未知量的次数。对三元一次方程问题求解，大约在1500年前，我国《九章算术》中就记载了这样的问题。而对于古代人民的求解方法也是别具一格。古代人民给我们的方法是：
1、先列出方程，相当于我们现在列出的方程组
2、采用直除法，即两行对减。再经过一系列的“除系数”法则，求出各个未知数
3、求出两个未知元之后最后采用代入法，求出最后一个未知元 不难看出这样的解法和我们现在运用的成熟的解三元一次方程的解法
有着异曲同工之妙。但是这样的解法存在很大的局限性，如果不是三元，而是更多的元，或者此三元一次方程的系数矩阵不是满秩的，那用这种叙述的方法就显得很乏力难解了。本课题研究的内容之一就着重解决这些不三元而是四元或者更多元的方程组。
相比国外我国的解方程理论要早出大约一千多年。公元1545年意大利数学家卡尔达诺的《大术》里载述了S·费罗(1515)、N.塔尔塔利亚(1535)的三次方程解法和L.费拉里(1544)的四次方程的解法。公元1779年法国贝祖著《代数方程的一般理论》里系统论述了消元法理论。等等这些理论先如今都已发展成为整套系统，严谨，科学的经典理论。研究解方程的方法，得到了如今初等方程论里所学的一些有关定理和事实。当时人们考虑了一个方程能有多少根的问题。Cardan引入了复数根，他似曾一度认为一个方程可以有任意个数的根。但他不久认识到一个三次方程能有三个根，一个四次方程有四个根等等。Albert Girarad在他的《代数新发现》中推测并断言一个n次多项式方程，如果把不可能的根（即复数根）算在内并把一个n重根算作几个根，那它就有n个根。但Girard没有 给出证明。又一个问题是怎样预知一个方程它的正跟、负根和复根的个数，Cardan指出一个（实系数）方程的复根实成对出现的。Newton在他的《普遍的算术》证明了这一点。并且当中还叙述（但未证明）了确定正和负的实根的最多个数的另一个方法，从而能推出复数根至少能有多少个。这方法用起来比较繁琐，但比Descartes的正负号法则能给出更好的结果。最后Sylvester证明着不过是一个更普遍定理的特例。Gau在略早一些的时候证明，若正跟个数少于变号次数，则所少的个数必为偶数。可以发现国外的这些数学家虽然在解一元多次方程中给出了很多新颖的解法，但是普遍存在的问题是没有一个具体而又科学求解公式或者是算法理论，并且给出的方法也大多是解决一些特殊而不具备普遍性质的方程。而本课题研究的内容之一就是解决一些不是一般性的一元三次、四次方程，并且推广到使用迭代法对方程进行求解，给出一些方程的求根公式以及求解过程方法。
三、主要研究内容、途径及主攻方向
本课题的主攻方向是在观察了解到数学史上对方程根的求解中，我们用今天更严密科学的矩阵理论以及一些求解公式来解更一般更多元、更多次的方程。
（一）其中本课题的主要内容有：
1、研究多元一次方程组的求解
2、一元二次方程的求解公式浅析
3、方程求解法的迭代使用
4、三次方程根的判别式
5、一些实系数三次方程的根及根的性质
6、无理方程的求解
7、二元二次方程组解法初探
（二）运用的途经有：
1、在解决多元一次方程组，我们可以先“提取”其系数矩阵，求出矩阵的秩，初步判断是此方程组是无解还是唯一解，或者是无穷多解，进而对其矩阵变形求解。
2、用迭代法求方程的根，收敛迭代公式的构造
3、三次方程根的判别式定理的应用
4、运用复数理论解决无理数方程
四、工作的主要阶段及进度
1、本课题主要研究数学史上对方程根的求解与现实意义，在书写论文初期就需要较多地查阅并收集一些相关资料，整理好这些资料并初步确定论文提纲，完成开题报告。
2、与老师商讨，完成论文框架，包括送交、修改。
3、依据论文大纲完成论文初稿并交给老师批阅。
4、完成论文二稿并交给老师批阅。
5、翻译相关英文资料，并完成相关论文简介、答辩提纲等。
6、整理并打印论文。
五、参考文献
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