河南大学硕士研究生入学考试高等代数_河南大学研究生考试

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2013年河南大学硕士研究生入学考试高等代数

1.记P【x】为数域P上所有多项式构成的集合，给定复数求

证：P【x】中子集合M={f(x)P【xf()=0}中存在唯一的首项系数为1的非零不可约多项式d(x)且d(x)f(x)当且仅当f(x)M。

2.设A，B为数域P上的n阶方阵，试证：2n阶方阵

有行列式：det(M)=det(A+B)det(A-B)

3.给定数域P上的nr矩阵A,B。设A,B的列向量组分别为同

一个齐次线性方程组的基础解系，试证：存在数域P上的r阶可逆方阵Q使得B=AQ。

4.设Ａ，Ｂ为ｎ阶是对称方阵，且Ａ正定，试证：二次型

（x）xAx'AＢＡＢ =M,和(x)xBx'可同时化为标准型。

5.设V为ｎ维实线性空间Ｖ中的真子空间，ｆ.为Ｖ上的对0

称双线性函数，记V0的正交补为V＝｛V｝ｆ，0，

试证：ｆ限制在V0上的非退化，当且仅当Ｖ＝V0V0 