数字信号处理课后习题Matlab作业_matlab课后习题答案

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数字信号处理MATLAB

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习题数字信号处理MATLAB习题

M1-1 已知g1(t)cos(6t)，g2(t)cos(14t)，g3(t)cos(26t)，以抽样频率fsam10Hz对上述三个信号进行抽样。在同一张图上画出g1(t)，g2(t)和g3(t)及抽样点，对所得结果进行讨论。

解：

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从以上两幅图中均可看出，三个余弦函数的周期虽然不同，但它们抽样后相应抽样点所对应的值都相同。那么这样还原回原先的函数就变成相同的，实际上是不一样的。这是抽样频率太小的原因，我们应该增大抽样频率才能真实还原。如下图：f=50Hz

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程序代码

f=10;

t=-0.2:0.001:0.2;g1=cos(6.*pi.*t);g2=cos(14.*pi.*t);g3=cos(26.*pi.*t);k=-0.2:1/f:0.2;h1=cos(6.*pi.*k);h2=cos(14.*pi.*k);h3=cos(26.*pi.*k);% subplot(3,1,1);

% plot(k,h1,'r.',t,g1,'r');% xlabel('t');% ylabel('g1(t)');% subplot(3,1,2);

% plot(k,h2,'g.',t,g2,'g');% xlabel('t');% ylabel('g2(t)');% subplot(3,1,3);

% plot(k,h3,'b.',t,g3,'b');% xlabel('t');% ylabel('g3(t)');

plot(t,g1,'r',t,g2,'g',t,g3,'b',k,h1,'r.',k,h2,'g.',k,h3,'b.')

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xlabel('t');ylabel('g(t)');

legend('g1(t)','g2(t)','g3(t)');

M2-1 利用DFT的性质，编写一MATLAB程序，计算下列序列的循环卷积。

(1)g[k]={1,-3,4,2,0,-2,},h[k]={3,0,1,-1,2,1}；(2)x[k]=cos(k/2),y[k]=3k,k=0,1,2,3,4,5。解：(1)循环卷积结果

6.0000-3.0000 17.0000-2.0000 7.0000-13.0000

程序代码

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g=[1-3 4 2 0-2];h=[3 0 1-1 2 1];l=length(g);L=2*l-1;GE=fft(g,L);HE=fft(h,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:l

if n+l

y2(n)=y1(n)+y1(n+l);else

y2(n)=y1(n);

end end y2

stem(0:l-1,y2)xlabel('k')ylabel('y(k)')title('循环卷积')

(2)循环卷积结果

-71.0000-213.0000 89.0000 267.0000 73.0000 219.0000

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程序代码

k=0:5;

x=cos(pi.*k./2);y=3.^k;l=length(x);L=2*l-1;GE=fft(x,L);HE=fft(y,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:l

if n+l

y2(n)=y1(n)+y1(n+l);

else

y2(n)=y1(n);

end end y2

stem(0:l-1,y2)xlabel('k')ylabel('y’(k)')title('循环卷积')

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M2-2 已知序列x[k]cos(k/2N),|k|N

0,其他(1)计算序列DTFT的表达式X(ej),并画出N=10时，X(ej)的曲线。

(2)编写一MATLAB程序，利用fft函数，计算N=10时，序列x[k]的DTFT在m2m/N的抽样值。利用hold函数，将抽样点画在X(ej)的曲线上。

解：

(1)X(e)DTFT{x[k]}jkx[k]ejkkNcos(k/2N)eNjk

程序代码

N=10;k=-N:N;

x=cos(k.*pi./(2*N));W=linspace(-pi,pi,512);

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X=zeros(1,length(W));for k=-N:N

X1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;end

plot(W,abs(X))xlabel('W');ylabel('abs(X)');

(2)

程序代码

N=10;k=-N:N;

x=cos(k.*pi./(2*N));X_21=fft(x,21);L=-10:10;

W=linspace(-pi,pi,1024);X=zeros(1,length(W));for k=-N:N

X1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;end

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plot(W,abs(X));hold on;

plot(2*pi*L/21,fftshift(abs(X_21)),'o');xlabel('W');ylabel('abs(X)');

M2-3 已知一离散序列为x[k]Acos0kBcos[(0)k]。用长度N=64的Hamming窗对信号截短后近似计算其频谱。试用不同的A和B的取值，确定用Hamming窗能分辨的最小的谱峰间隔wc的值。

解：f1=100Hz f2=120Hz时

2中cN

f2=140Hz时

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f2=160Hz时

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由以上三幅图可见

f2=140Hz时，各谱峰可分辨。则f又

wc2N

40Hz

且

wT2fT2401 800所以c=3.2（近似值）

程序代码

N=64;L=1024;

f1=100;f2=160;;fs=800;

A=1;B1=1;B2=0.5;B3=0.25;B4=0.05;T=1/fs;ws=2*pi*fs;k=0:N-1;

x1=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B1*cos(2*pi*f2*T*k);x2=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B2*cos(2*pi*f2*T*k);x3=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B3*cos(2*pi*f2*T*k);x4=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B4*cos(2*pi*f2*T*k);hf=(hamming(N))';x1=x1.*hf;x2=x2.*hf;x3=x3.*hf;x4=x4.*hf;

X1=fftshift(fft(x1,L));X2=fftshift(fft(x2,L));X3=fftshift(fft(x3,L));X4=fftshift(fft(x4,L));

W=T*(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);subplot(2,2,1);plot(W,abs(X1));title('A=1,B=1');xlabel('W');ylabel('X1');subplot(2,2,2);

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plot(W,abs(X2));title('A=1,B=0.5');xlabel('W');ylabel('X2');subplot(2,2,3);plot(W,abs(X3));title('A=1,B=0.25');xlabel('W');ylabel('X3');subplot(2,2,4);plot(W,abs(X4));title('A=1,B=0.05');xlabel('W');ylabel('X4');

M2-4 已知一离散序列为x[k]cos0k0.75cos1k,0k63。其中, 02/15，12.3/15。

(1)对x[k]做64点FFT, 画出此时信号的谱。

(2)如果(1)中显示的谱不能分辨两个谱峰，是否可对(1)中的64点信号补0而分辨出两个谱峰。通过编程进行证实，并解释其原因。

解：(1)

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程序代码

W0=2*pi/15;W1=2.3*pi/15;N=64;k=0:N-1;

x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x);

plot(k/N,abs(X));grid on;

title('64点FFT');

(2)

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由以上三幅图看出：不能对(1)中的64点信号补零而分辨出两个谱峰，这样的方法只能改变屏幕分辨率，但可以通过加hamming窗来实现对谱峰的分辨。程序代码

W0=2*pi/15;W1=2.3*pi/15;N=64;L=1024;k=0:N-1;

x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x,L);

plot((0:L-1)/N,abs(X));grid on;

title('1024点FFT');

M2-5 已知一连续信号为x(t)=exp(-3t)u(t)，试利用DFT近似分析

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其频谱。若要求频率分辨率为1Hz，试确定抽样频率fsam、抽样点数N以及持续时间Tp。

解：

本题使用矩形窗，则Nfsamfsam1fsam，Tp1 f1f

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由以上三幅图可以看出当fsam越来越大时，近似值越来越接近

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于实际值。即fsam越大拟合效果越好，造成的混叠也是在可以允许的范围内。程序代码

fs=100;ws=2*pi*fs;Ts=1/fs;N=fs;

x=exp(-3*Ts*(0:N-1));y=fft(x,N);l=length(y);

k=linspace(-ws/2,ws/2,l);

plot(k,Ts*fftshift(abs(y)),'b:');hold on;

w=linspace(-ws/2,ws/2,1024);y1=sqrt(1./(9+w.^2));plot(w,y1,'r')

title('fs=100Hz时的频谱')legend('近似值','实际值);

M2-6 试用DFT近似计算高斯信号g(t)exp(dt2)的频谱抽样值。

π2通过和频谱的理论值G(j)exp()比较，讨论如何根据时域的信

d4d号来恰当地选取截短长度和抽样频率使计算误差能满足精度要求。

解：

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由以上三幅图可以看出：

当时域截取长度相同时，抽样间隔越小时误差越小，当抽样间隔一定时，时域截取长度越长，误差越小。当取抽样间隔为1S，时域截取长度为2S时，误差较大，绝对误差在0.5左右；当抽样间隔为0,5S，时域截取长度为2S时，误差比间隔为1S时小，绝对误差不大于0.2；当抽样间隔为0.5S时域截取长度为4S时，误差更小，绝对误差不大于0.04。因为时域截取长度越长，保留下来的原信号中的信息越多，抽样间隔越小，频谱越不容易发生混叠，所以所得频谱与理论值相比，误差更小。

程序代码

Ts=0.5;N=4;N0=64;

k=(-N/2:(N/2))*Ts;

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x=exp(-pi*(k).^2);X=Ts*fftshift(fft(x,N0));

w=-pi/Ts:2*pi/N0/Ts:(pi-2*pi/N0)/Ts;XT=(pi/pi)^0.5*exp(-w.^2/4/pi);subplot(2,1,1)

plot(w/pi,abs(X),'-o',w/pi,XT);xlabel('omega/pi');ylabel('X(jomega)');

legend('试验值','理论值');

title(['Ts=',num2str(Ts)subplot(2,1,2)plot(w/pi,abs(X)-XT)ylabel('实验误差')

xlabel('omega/pi');

'N=',num2str(N)]);第22页

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