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2018年高考冲刺圆锥曲线
一．选择题（共13小题）
1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=10和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为（）A．[﹣2，6] B．[﹣3，5]
C．[2，6] D．[3，5]
2．已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A．x2+y2= B．x2+y2= C．x2+y2=（x＜）
D．x2+y2=（x＜）
3．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．a=1或a=﹣2 B．a=2或a=﹣1
C．a=﹣1
D．a=2
4．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A． B． C．
D．
﹣1
5．由方程x2+y2+x+（m﹣1）y+m2=0所确定的圆中，最大面积是（）A．π B．π C．3π D．不存在﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线6．已知双曲线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A． B．
C．
D．
7．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10 8．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）
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A． B． C． D．
=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，9．设A，B是椭圆C：+则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，D．（0，]∪[4，+∞）
]∪[9，+∞）
C．（0，1]∪[4，+∞）10．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）A． B．1 C． D．2
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A． B． C． D．
12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A． B． C．
D．1
13．已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）C．2
D．4 A． B．1
二．填空题（共2小题）
14．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于
． 15．已知双曲线﹣
=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py
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（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为
．
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2018年高考冲刺圆锥曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=10和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为（）A．[﹣2，6] B．[﹣3，5]
C．[2，6] D．[3，5]，即可求出实数t的取值范围．，【分析】由题意，|CM|≤【解答】解：由题意，|CM|≤∴（5﹣1）2+（t﹣4）2≤20，∴2≤t≤6，故选C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键．
2．已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A．x2+y2= B．x2+y2= C．x2+y2=（x＜）
D．x2+y2=（x＜）
【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得OD=，从而得BC中点的轨迹方程． 【解答】解：设BC中点是D，∵圆心角等于圆周角的一半，∴∠BOD=60°，在直角三角形BOD中，有OD=OB=，故中点D的轨迹方程是：x2+y2=，如图，由角BAC的极限位置可得，x＜，故选D．
第4页（共16页）
【点评】本题主要考查求轨迹方程，解决与平面几何有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，这样会使问题的解决简便些．
3．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．a=1或a=﹣2 B．a=2或a=﹣1
C．a=﹣1
D．a=2
【分析】由二次项额系数相等不等于0，且化为一般式后满足D2+E2﹣4F＞0联立求解a的取值范围．
【解答】解：若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=﹣1．
故选C．
【点评】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，解答的关键是充分理解圆的一般式方程，是基础题．
4．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A． B． C．
D．
﹣1
【分析】由题意画出图形，求出圆心到直线x﹣y+3=0的距离，再由勾股定理求得切线长的最小值．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，圆心为C（2，2），半径为1，如图，第5页（共16页）
直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，要使切线长的最小，则直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，|PC|=∴切线长的最小值为故选：B．
【点评】本题考查圆的切线方程，考查了直线与圆位置关系的应用，是基础题．
5．由方程x2+y2+x+（m﹣1）y+m2=0所确定的圆中，最大面积是（）A．π B．π C．3π D．不存在．
．
【分析】圆的方程配方化为标准方程后，表示出圆心坐标和半径的平方，根据二次函数求最值的方法求出半径的最大值时k的值，此时圆的面积最大，即可得出结论．
【解答】解：将方程配方，得（x+）2+（y+∴r2max=，此时m=﹣1． ∴最大面积是故选：B．
【点评】此题考查学生会将圆的方程化为圆的标准方程，掌握二次函数求最大值的方法是关键．
6．已知双曲线﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线．）2=
．
上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）
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A． B． C． D．
【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，即，解得a=1，b=故选：D．，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
7．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可． 方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案
【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，+θ，利用焦点弦的弦长公
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∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=
×
=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 根据焦点弦长公式可得|AB|=|DE|==
=
=
+θ，∴|AB|+|DE|=∵0＜sin22θ≤1，+==，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A
【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．
8．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段
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A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A． B． C．
D．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．
【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离
=a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e==故选：A．
=．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．设A，B是椭圆C：+
=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，D．（0，]∪[4，+∞）
]∪[9，+∞）
C．（0，1]∪[4，+∞）【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO=得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO=取值范围．
【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，设椭圆的方程为：y＞0，则a2﹣x2=
≥tan60°，当即可求，即可求得m的≥tan60°=
（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），第9页（共16页）
∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα=，tanβ=，=﹣
=﹣则tanγ=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣=﹣=﹣，∴tanγ=﹣，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值，∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=解得：0＜m≤1；
≥tan60°=，当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）故选A．
≥tan60°=，解得：m≥9，第10页（共16页）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
10．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）A． B．1 C． D．2
【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，故选：D
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．
11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF
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交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A． B． C． D．
【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，=，即为a=3c，化简可得可得e==． 故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A． B． C．
D．1，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，【分析】由题意可得F（，0），设P（运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．
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【解答】解：由题意可得F（，0），设P（显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0． 要求kOM的最大值，设y0＞0，则=+=+
=
+（﹣），y0），=+=（+，），可得kOM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号． 故选：C．
【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．
13．已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）C．2
D．4 A． B．1 【分析】由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点．把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出． 【解答】解：由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点． 设P（x1，y1），Q（x2，y2）．，则联立，|FQ|=x2+2．
．化为k2x2﹣（8+4k2）x+4k2=0（k≠0）．
∵△＞0，∴，x1x2=4．
第13页（共16页）
∴+====．
故选A．
【点评】本题考查了抛物线的焦点弦问题，属于中档题．
二．填空题（共2小题）
14．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）相交
． 于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于
【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，①，②，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得∴a=∴∴e==b，=b，．
第14页（共16页）
+=1（a＞b＞0）相交于，即，故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．
15．已知双曲线﹣
=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为 y=±x ．
【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出线的渐近线方程为：y=±x． 【解答】解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，及，求出a=b，得双曲∵|FA|=c，∴
抛物线的准线方程为由得，由①②，得∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．
【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．
第15页（共16页）
=2c，即c2=2a2，第16页（共16页）
