初中数学圆中常见的两解问题_初中数学圆的失分原因

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初中数学圆中常见的两解问题

一、两平行弦之间的距离

例1.圆O的半径是5，弦AB=6，CD=8，且AB//CD，求弦AB，CD之间的距离。分析：两种情况

（1）弦AB、CD在圆心O的两侧（如图1）。（2）弦AB、CD在圆心O的同侧（如图2）。

解：（1）过点O作OEAB，垂足为E，延长EO交CD于F（如图1）。AB//CD,OEAB,OFCD。连接OB、OD。

1OEAB,AB6,BEAB3。

2在RtBOE中，OEOB2BE252324。

同理OF=3，EFOEOF437。

（2）过点O作OEAB，交CD于点F，连接OB、OD（如图2）。AB//CD,OEAB,OFCD。由（1）可知OE4,OF3，EFOEOF431。

弦AB、CD之间的距离为7或1。

二、弦所对的圆周角

例2.在半径为5的圆O内有长53的弦AB，求弦AB所对的圆周角。

分析：两种情况（1）所求圆周角的顶点在优弧AB上，（2）所求圆周角的顶点在劣弧AB上（如下图）。解：过点O作OEAB垂足为E，连接OA、OB。

OEAB,AB5315AB3 22AE3sin1AO2160,AOB120，1CAOB60。

2CC1180,C1120 AE

弦AB所对的圆周角为60°或120°。

三、已知半径、两弦长、求两弦的夹角

例3.已知圆O的半径为1，弦AB2,AC3，求∠BAC。

分析：两种情况（1）弦AB、AC在圆心两侧（如图1），（2）弦AB、AC在圆心同侧（如图2）。

解：过点O作OEAB,OFAC，垂足分别为E、F，连接OA（如图1）。（1）OEAB,AB2,AE12AB，22AE2AO2EAO45.同理OAF30 BACEAOOAF75（2）由（1）可知∠EAO=45°，∠OAF=30°，BACEAOOAF15（如图2）。综上所述BAC75或15。

四、两圆相切

例4.已知圆O1的半径为7，圆O2的半径为9，两圆相切，求O1O2。cosEAO分析：两种情况

（1）两圆外切

（2）两圆内切 解：（1）当圆O1、圆O2外切时，O1O27916（2）当圆O1、圆O2内切时

O1O2972

五、半径不等的相交两圆的圆心距

例5.圆O1的半径为17，圆O2的半径为10，两圆相交于A、B两点，AB=16，求O1O2。分析：两种情况（1）两圆圆心在公共弦两侧（如图1），（2）两圆圆心在公共弦同侧（如图2）。

解：（1）连接O1A、O2A、O1O2交AB于点C（如图1）。由相交两圆的性质可知ABO1O2。且AC

1AB8。2在RtAO1C中O1C1728215，在RtAO2C中O2C102826。O1O2O1CO2C15621

（2）连接O1A、O2A、O1O2，并延长O1O2交AB于点C（如图2）。

由（1）可知O1C15,O2C6。

O1O2O1CO2C1569 综上所述O1O2为21或9。