数学归纳法经典例题详解_数学归纳法经典例题

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例1．用数学归纳法证明：

1111n． 2n12n12n1133557证明：①n=1时，左边等式成立．

1111，，右边左边=右边，133213②假设n=k时，等式成立，即：

1111k．

2k12k12k1133557当n=k+1时．

11111

2k12k12k12k3133557k1 2k12k12k32k1k1 2k23k12k12k32k12k3k1k1 2k32k11这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，综合上述，等式成立.例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论．

解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．

a16，a12a224a2a3a60231解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．

故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤．

假设n=k时，等式成立，即a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)那么当n=k+1时，a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1

= k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2] 这就是说，当n=k+1时，也存在．

综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

例3．证明不等式112131n2n(n∈N)．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．左边

②假设n=k时，不等式成立，即1那么当n=k+1时，112131k121k1131k2k．

2k1k12kk11k12k1k1kk11k12k1

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．

例4.解析：（1）当（2）假设当

时，左边时命题成立，即，右边。，命题成立。，那么当时，左边。

上式表明当

时命题也成立。

由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。

例5.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式

成立。

解析：①当②假设时，左=，右，左>右，∴不等式成立。

时，不等式成立，即，那么当时，∴时，不等式也成立。

由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。

例6.若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。解析：取令所以取，而

。，得，下面用数学归纳法证明，（1）时，已证结论正确

时，（2）假设

则当时，有，因为，所以，所以即时，结论也成立，，由（1）（2）可知，对一切都有故a的最大值为25。

*例7．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an． 求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除． 证明：①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．

②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3 =a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．

因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．