四川省成都市树德中学学年高二12月月考数学(理)试题含解析由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“成都高二12月月考数学”。
高2016级高二上期12月阶段性测试数学试题（理科）
命题人：熊忠婕
一、选择题（60分）
1.下列说法正确的是（）A.命题“3能被2整除”是真命题 B.命题“，”的否定是“，”
C.命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题 D.命题“若【答案】C 【解析】对于A：“3能被2整除”显然不正确；对于B：由于命题“的否定是，”都是偶数，则
是偶数”的逆否命题是假命题，故B不正确；对于C：47是7的倍数或49是7的倍数是复合命题或的形式，其中：47是7的倍数为假，：49是7的倍数为真，其中为真，故命题：47是7的倍数或49是7的倍数为真，故C正确；对于D：命题“若，都是偶数，则
是偶数”为真命题，由原命题与逆否命题的等价性得，其逆否命题也为真命题，故D不正确；故选C.2.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A.3 B.9 C.51 D.17 【答案】C 【解析】∵，，∴ 459和357的最大公约数是． 3.是任意实数，则方程
表示的曲线不可能是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【答案】C 【解析】选C 由于，对的值举例代入判断．
可以等于1，这时曲线表示圆，可以小于0，这时曲线表示双曲线，4.已知是不同的两个平面，直线
可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．，直线，条件
与没有公共点，条件，则是的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】∵与没有公共点时，与所在的平面可能平行，也可能相交（交点不在直线上）∴命题：与没有公共点⇒命题：∥，为假命题 又∵∥时，与平行或异面，即与没有公共点 ∴命题：∥⇒命题：与没有公共点，为真命题； 故是的必要不充分条件 故选B 5.把离心率的曲线
称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（）
A.无交点 B.有1个交点 C.有2个交点 D.有4个交点 【答案】D 【解析】由题意知，所以，所以，因为，所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，故选D.6.椭圆的一个顶点在抛物线 D.的准线上，则椭圆的离心率（）
A.B.C.【答案】C 【解析】∵ 抛物线的方程为∴抛物线的标准方程为∵椭圆的方程为，其准线方程为
∴椭圆的标准方程为，其顶点坐标为，∵椭圆的一个顶点在抛物线的准线上 ∴，即 ∴椭圆的标准方程为，其中，∴椭圆的离心率为故选C 7.如图，在到的距离分别是和，与内的射影长分别是和，若，则（）
所成的角分别是和
A.C.【答案】D B.D.【解析】试题分析：由题意知，所以考点：
1、线面角；
2、正弦函数与余弦函数． 8.如图所示，在正方体则的最大值为（）．
中，点是平面
且
因为所以
所以故选D.内一点，且，A.B.C.2 D.【答案】D 【解析】
正方体证明如下，连接则∴四边形∴又∴同理∴当在直线，平面平面，且，且中，连接，交，交于点，则点满足条件；，于点，连接，是平行四边形，平面，平面，上时，都满足∴是最大值．
故选项是正确的．
点睛：这是立体中空间角的问题，点动，引起直线动，动直线形成动平面，因此这个题目先研究动点的轨迹，通过线面平行，先过点B做出和已知平面平行的平面，从而得到动点的轨迹是上面的对角线。再根据角的正切值，找出范围。9.如图程序框图在输入
时运行的结果为，点M为抛物线的距离为，则
上的一个动点，设点M的最小值是（）到此抛物线的准线的距离为，到直线
A.B.【答案】B C.2 D.【解析】第一次循环循环，输出
；第二次循环
因此
；第三次循环 ；结束 ,选B.，抛物线焦点点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线标为
上一点，由定义易得，则弦长为
；若过焦点的弦
AB的端点坐
可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 10.在正方体①②； 平面；的大小随点的运动而变化； 在平面
上的投影的面积与在平面
上的投影的面积之比随点的中，在线段
上运动且不与，重合，给出下列结论：
③二面角④三棱锥运动而变化；
其中正确的是（）A.①③④ B.①③ C.①②④ D.①② 【答案】D
故选D
11.已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点.的重心为，内心为，且A.B.【答案】A，则该椭圆的离心率为（）
C.D.【解析】设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G∵∴IG∥x轴∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴S△F1PF2=，又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标为即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形 ∴S△F1PF2=•（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||，∴•|F1F2|•|y0|=•（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c|）||，∴2c=a，离心率为 故选A 点睛：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，利用等面积的方法建立等式，要用到椭圆定义.12.如图，面距离为则,B为AC的中点，的最大值为（），且P到直线BD的A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】B 【解析】∵到直线∴空间中到直线的距离为的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆，即点在内的轨，则
迹为一个椭圆，为椭圆中心，∴为椭圆的焦点
∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值 ∴故选B 点睛：解答本题时，要先将立体几何问题转化为平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用.二、填空题（20分）13.若命题“___________． 【答案】，使得
” 为假命题，则其，解得
命题“，使得
”为假命题，则实数的取值范围是的最大值为
【解析】试题分析：命题“使得考点：命题的否定 ”为真，则14.执行程序框图，该程序运行后输出的S的值是__________．
【答案】－9 【解析】由程序框图得： 第一次运行：第二次运行：第三次运行：故答案为15.已知【答案】3 【解析】试题分析：由于，解得
.三个向量共面，所以存在实数，使得，即有，若向量
共面，则
_________．，，不满足条件，输出
考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.16.抛物线上一点
到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点的取值范围为为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则__________． 【答案】【解析】∵点∴，即
在抛物线上，所以
∵点到准线的距离为 ∴∴或 当时，故
舍去
∴ 抛物线方程为∴∴，是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示：
∴设点∴
（θ为参数），则
故答案为点睛：本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到是正三角形和内切圆的方程，即可得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到解题的关键.三、解答题（70分）17.已知：方程轴上的双曲线.（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围 【答案】（1）.；（2）
或
.；（2）分别
有两个不等的正根； ：方程
表示焦点在，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是【解析】试题分析：（1）根据双曲线的性质可得，当焦点在轴上时，即求出，真时的的范围，再根据真假或假真得到的范围.试题解析：（1）由已知方程所以，解得，即
表示焦点在轴上的双曲线，.（2）若方程则因或为真，所以又且为假，所以因此，解得
有两个不等的正根，即
.至少有一个为真.至少有一个为假.，解得
； 两命题应一真一假，当为真，为假时，解得
..当为假，为真时，综上，或考点：复合命题的真假.18.设分别为双曲线．的左、右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于，求的值及点的坐标．
【答案】（1）；（2），．，可得，由双曲线的焦点到渐进线的距离可得，根据向量关系可得，代入直线
两点，且在双曲线的右支上存在点，使【解析】试题分析：（1）由于实轴长为，从而得其方程；（2）设联立直线方程与双曲线方程消去得关于的一元二次方程，由韦达定理可得方程可得，从而得，再根据点在双曲线上，满足双曲线方程，解方程组即可得到点的坐标和的值.试题解析：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为（2）设，则，又,，双曲线方程为：.由，，解得.考点：双曲线的标准方程及直线与双曲线的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系问题，同时涉及到了向量的线性运算及坐标表示，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.本题第一问解答时，可求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得，也可以直接利用结论求解，第二问解答的关键是通过向量加法的坐标表示建立点坐标和过韦达定理即可求解.19.如图，在直三棱柱点。
中，，分别是的中
坐标的关系，通
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求直线和平面；
所成角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）30°． 【解析】试题分析：（I）由由侧面平面又点N是根据直线是正方形，所以，由侧面的中点，则平面和平面，设
是与，．又
是正方形，是，则
平面，连接，则，根据线面垂直的判定定理可知的中点，连接
∥，则点是
平面的中点，；（Ⅱ）
为，的中位线，所以相交于点，连接，从而，根据线面所成角的定义可知，在中，求出所成角，设，求出即可求出所求的角． 试题解析：（I）证明：由已知∴连接平面，则
是正方形，所以
平面
是正方形，是，则点是的中点的中点
由已知，侧面又∵∴∵侧面∴连接
又∵点N是∴∴∴（Ⅱ）设∵∴设∴ 是∥ 平面与平面为直线的中点 的中位线
相交于点，连接 和平面，则，故直线
和平面
所成角
在所成的角为30°
20.已知抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）设点在抛物线上，过点
作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线最小时直线，根据点到直线的距离，求抛物线方程；（2）设直的方的方程.、分别交直线于、两点，求【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）焦点线的方程为
与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再求直线的坐标，利用根与系数的关系表示两点间距离，求最值.，得，或
（舍去）程，得到点试题解析：（1）抛物线的焦点为∴抛物线的方程为（2）点设直线由∴，为得，.在抛物线上，∴，得，；，，由，得，同理；
∴；
∴当时，此时直线方程：.【点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，确定抛物线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.如图，四棱锥，中，底面，点在，底面上，且
是直角梯形，．，（Ⅰ）已知点在（Ⅱ）当二面角上，且，求证：平面平面与平面
； 所成的角为时，直线？
所成的的余弦值为多少时，直线【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）当二面角角为．的余弦值为与平面【解析】试题分析：（Ⅰ）现根据已知，结合平面几何知识证明边形是平行四边形，则，从而，利用
底面，进而可证四，结合线面垂直、面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅱ）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，∵再求出平面是平面的一个法向量，的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.，∴，，，∴是平行四边形，则，，试题解析：（Ⅰ）∵∵底面∴∴∵∴四边形是直角梯形，即∴∵∵∴∴平面，底面，平面，∵平面．，所成夹角为，则，∴，则
平面，则，即
为直线
与平面，所成的角，平面，∴，（Ⅱ）解：∵若取与平面的中点为，连接，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则∴，，，设平面的法向量，则即
令∵∴，则，是平面，∴，的一个法向量，的余弦值为
时，直线
与平面
所成的角为
． 即当二面角22.在平面直角坐标平面中，①；②的两个顶点为
；③
．，平面内两点、同时满足：（1）求顶点的轨迹的方程；（2）过点设弦①求四边形②试问：直线【答案】（1）作两条互相垂直的直线的中点分别为
．，直线
与点的轨迹相交弦分别为，的面积的最小值；
是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．
；（2）①的最小值的，②直线
恒过定点
．...........................试题解析：（1）∵∴由①知∴为设的重心，则，由②知是，由的外心，得，化简整理得：
∴在轴上由③知．
（2）解：①当直线由恰为的右焦点，的斜率存且不为0时，设直线的方程为，设则，①根据焦半径公式得，又，所以，同理，则，当，即时取等号．，同理可求得，②根据中点坐标公式得则直线的斜率为，∴直线的方程为，，即为轴，过点，整理化简得令，解得恒过定点∴直线②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线
恒过定点
． 综上，的最小值的，直线点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.
