高中数学经典错题解析：第十一章数系的扩充与复数_高中数学错题解析

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数系的扩充与复数

§11.1 数系的扩充与复数的概念

一、知识导学

1.复数：形如abi的数（a,bR），复数通常有小写字母z表示，即zabi,其中a叫做复数的实部、b叫做复数的虚部，i称做虚数单位.2.分类：复数abi(a,bR)中，当b0时，就是实数；除了实数以外的数，即当b0时，abi叫做虚数；当a0,b0时，叫做纯虚数.3.复数集：全体复数所构成的集合.4.复数相等：如果两个复数abi与cdi的实部与虚部分别相等，记作：abi=cdi.5.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.6.复数的模：设oz=abi,则向量oz的长度叫做复数abi的模（或绝对值），记作abi.(1)zabi

(3)z1z1； z2z2a2b2；(2)z1z2=z2z1； 7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识

1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小

2222．zR,则z0，而zC，则z0不一定成立，如zi时i10；

23．zR,zz2，而zC则zz2不一定成立；

24．若z1,z2,z3C,(z1z2)2(z2z3)20不一定能推出z1z2z3；

25．若z1,z2R，则z1z2=(z1z2)4z1z2，但若z1,z2C,则上式不一定成立.三、经典例题

[例1]两个共扼复数的差是（）

A.实数B.纯虚数C.零D.零或纯虚数

错解:当得到zz2bi时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为zabi及zabi(a,bR)则zz2bi 或zz2bi

当b0时，zz，zz为纯虚数

当b0时，zz0，zz0，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论.学会全面辩证的思考问题，准确记

忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确

(1)若zC, 则z0(2)若z1,z2C,且z1z20，则z1z

2(3)若ab，则aibi

错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正

确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复

数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.22正解：(1)错，反例设zi则zi10 2

(2)错，反例设z12i，z21i，满足z1z210，但z1z2

不能比较大小.(3)错，ab，a,bR，故ai，bi都是虚数，不能比较大小.a2a6(a22a15)i是(1)实数； [例3]实数a分别取什么值时，复数za

3(2)虚数;(3)纯虚数.a2a6(a2)(a3)解：实部，虚部a22a15(a3)(a5).a3a3

（1）当

（3）当 时，z是实数；（2）当 或 时是纯虚数．，且 时，z是虚数；

[例4] 设z1(m22m3)(m24m3)i(mR),z253i，当m取何值时，(1)z1z2;(2)z10.分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．

2m2m35解：(1)由可得：2解之得m4，m4m33

即：当

(2)当 时 可得：

或，即 时z10.22[例5]z1,z2是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且4z12z1z2z20，证明△OPQ

为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．

22分析本题起步的关键在于对条件4z12z1z2z20的处理．等式左边是关于z1,z2的二次齐次式，可以

看作二次方程求解，也可配方．

22解：由4z12z1z2z20（，不为零），得

z1

22i1iz2z284 z11cosisinz2233

即向量OP与向量OQ的夹角为，3

1|z2|，设|z1|r,|z2|2r，2在图中，POQ

3，又|z1|

在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ为直角三角形，．

四、典型习题

1.设复数z满足关系z|z|2i，那么z等于（）．

A．B．

2C．D． 2.复数系方程(1i)x(1i)x26i0有实数根，则这个实数是_________.3.实数m取何值时，复数

二象限．

4.已知f(z)zz且f(z)103i,求复数z

5.设复数z满足z5且(34i)z在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第2zm52(mR),求z和m的值

§11.2复数的运算

一、知识导学

1.复数加、减法的几何意义

(1)加法的几何意义

复数z1z2是以oz1、oz2为两邻边的平行四边形对角线oz所对应的复数.(2)复数减法的几何意义

复数z1z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量z1z2所对应的复数.2.重要结论

（1）对复数z、z1、z2和自然数m、n，有 

zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nz1nz2n

(2)ii，i1，ii，i1；

i4n112341，i4n21，i4n3i，i4n1.1i1ii，i.1i1i(3)(1i)22i，(4)设1i22nn123n3nn20，，，10，，

2二、疑难知识

1.对于zzz2z，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行

2运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当zC时，不总是成立的.(1)(zm)nzmn(m,n为分数时不成立)；(2)zmznmn(z1时不成立)；

(3)z1z20z1z20(z1,z2是虚数时不成立)；(4)z222z2(z为虚数时不成立)；(5)zaaza(z为虚数时不成立)

三、经典例题

[例1] 满足条件z2iz15的点的轨迹是（）

A.椭圆B.直线C.线段D.圆

错解：选A或B.错因：如果把z2i看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数

动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为5，动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C

评注：加强对概念的理解加深，认真审题.[例2] 求值：(1i)n(1i)6n.错解：原式=(1i)(61in)(2i)3in8in1 1i

当n2时，原式8当n3时，原式8

错因：上面的解答错在没有真正理解nZ的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=(1i)(61in)=(2i)3in8in1 1i

(n4k1),8(n4k2),(k为非负整数)8i= 8（n4k3）,(n4k).8i

评注：虚数单位i整数幂的值具有以4为周期的特点，根据n求in时，必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.[例3]已知z

21i，求1zzz22000的值.a1(1qn)分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式Sn，若直接将条件代入求1q

和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.1z200113*667112(13i)130zi原式=1z114221i2

评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.[例4] 已知复数w满足w4(32w)i(i为虚数单位），z

元二次方程.解法一： w(12i)43i,w

z5|w2|，求一个以z为根的实系数一w43i2i，12i5|i|3i.2i

若实系数一元二次方程有虚根z3i，则必有共轭虚根3i.z6,z10， 所求的一个一元二次方程可以是x26x100.解法二：设wabi(a、bR)

abi43i2ai2b，a42b,a2,得   b32a,b1,

w2i，以下解法同解法一.[例5]设z是虚数，z

解析z是虚数可设z1是实数，且12.zz的实部的取值范围.z11 (xyi)zxyi

xyixyixy(x)(y)i 222222xyxyxy

1220,即xy1 22xy是实数，且y0,1

z1, 此时2x

11x1,即z的实部的范围是(,1)22 由12得12x2

四、典型习题

1．非空集合G关于运算满足：（1）对任意a,bG，都有abG；

（2）存在eG，使得对一切aG，都有aeeaa，则称G关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：

①G非负整数,为整数的加法②G偶数,为整数的乘法

③G平面向量,为平面向量的加法④G二次三项式,为多项式的加法 ⑤G虚数,为复数的乘法

其中G关于运算为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号）2.(1i1993)______1i

3．计算

4.计算

5．解下列方程：

(1)；

(2).