高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题复习讲练 2 复数的应用由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“北京高考数学复习专题”。
§2 复数的应用
一、复习要点
复数的三角形式、复数及其运算的几何意义是数形结合的桥梁，是应用复数知识解题的主要结合点．在系统复习的基础上，本轮复习应把握以下几点：
1．《考试说明》对复数的应用没有提出特别要求，复习时只介绍一些简单应用，切忌随意拔高．
2．使学生在思想上明确：
（1）应用复数可以证明三角恒等式，求反三角函数的和；
（2）应用复数可以证明不等式；
（3）应用复数可以解决解析几何问题；
（4）应用复数可以证明平面几何问题．
3．熟练掌握并应用复平面内的：
（1）两点间的距离公式；
（2）过原点的射线、直线方程；
（3）线段垂直平分线的方程；
（4）圆的方程；
（5）椭圆的方程．
4．本节复习的重点应放在复数运算的几何意义及复数与三角、复数与几何的简单综合问题上．
二、例题讲解
例1（1）已知复数ｚ１＝3－ｉ，｜ｚ２｜＝2，则｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值是（）．Ａ．
Ｂ．
5Ｃ．2＋
Ｄ．2＋2－
2（2）已知复数ｚ满足｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜且ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝π／4，则ｚ等于________．讲解：（1）本题的条件容易使我们联想到复数及运算的几何意义，首选数形结合的方法来解答．在复平面中，方程｜ｚ２｜＝2的图形是以原点为圆心、半径为2的圆，而｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ２－（－ｚ１）｜表示ｚ２与－ｚ１所对应的两点P２与Ｐ１间的距离，即线段Ｐ１Ｐ２的长，如图6-1所示．显然当Ｐ１Ｐ２经过原点时，线段Ｐ１Ｐ２最长，其值为2＋．∴ 选Ｃ．
图6-
1本题亦可选用代数方法解答，把ｚ２用三角式表示后，则关于复数模的条件最值问题便转化为三角函数的无条件最值问题．运用三角恒等变形方法和弦函数的值域性质即得结论．简解如下：
设ｚ２＝2（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（0≤θ＜2π），则
｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜2ｃｏｓθ＋3＋ｉ（2ｓｉｎθ＋1）｜２２
＝（2ｃｏｓθ＋3）＋（2ｓｉｎθ＋1）
＝14＋
4≤14＋4ｓｉｎ（θ＋φ）＝（1＋）．２２２
当ｓｉｎ（θ＋φ）＝1时，等号成立．
∴ ｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值为2＋，选Ｃ．
图6-
2（2）显然用数形结合方法解答最为适宜．方程｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜的图形是复平面中以实数1和3所对应的点为端点的线段的垂直平分线；而方程ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝（π／4）的图形，是复平面中以复数ｉ所对应的点为端点，倾斜角为（π／4）的射线，如图6-2所示．故射线与垂直平分线的交点所对应的复数即为所求，即ｚ＝2＋3ｉ．
例2已知复数ｚ１＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα，ｚ２＝ｋ（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），ｚ３＝（2－ｋ）（ｃｏｓγ＋ｉｓｉｎγ），且满足ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0．问ｋ为何值时，ｃｏｓ（β－γ）分别取最大值、最小值（0＜ｋ＜2）．
讲解：本例是复数与三角关系的问题，利用虚实转化思想，由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，应用复数相等的充要条件，可转化为三角条件最值问题．则有
解法1．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得
ｃｏｓα＋ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝0，ｓｉｎα＋ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝
ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝－ｃｏｓα，ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝－ｓｉｎα．
①＋②，得
ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3／2ｋ（ｋ－2））＝1＋[3／2ｋ（ｋ－2）]．
若注意到复数的性质，可以考虑利用整体思想求解，则有
解法2．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得
｜ｚ２＋ｚ３｜＝｜ｚ１｜，两边平方，得｜ｚ２＋ｚ３｜＝｜ｚ１｜，∴（ｚ２＋ｚ３）（２２２２２２２① ② ＋３）＝1，３即｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜＋ｚ２
注意到ｚ２
２３２＋２ｚ３＝1． ＋２２ｚ３＝2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜ｃｏｓ（β－γ），则ｋ＋（2－ｋ）＋2ｋ（2－k）ｃｏｓ（β－γ）＝1．
∴ ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3）／（2ｋ－4ｋ）．
若注意到复数及其运算的几何意义，则可以考虑利用数形结合的思想求解，从而有
解法3．∵ ｜ｚ２－ｚ３｜＝2（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜）－｜ｚ２＋ｚ３｜＝2（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜）－｜ｚ１｜， 而且注意到复平面内的余弦定理：
ｃｏｓ（β－γ）＝（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜－｜ｚ２－ｚ３｜／2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜）， ∴ ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3）／（2ｋ－4ｋ）．
上面三种不同的解法是在三种不同的基本思想启迪下得到的．这正是灵活运用基本数学思想的具体体现，应予足够重视．
下面完成此题的解答．
令 ｙ＝ｆ（ｋ）＝1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝1－（3／2ｋ（2－ｋ））（0＜ｋ＜2）≤1－（3／2·（（ｋ＋2－ｋ／2）））＝－（1／2）．
∵ ｜ｃｏｓ（β－γ）｜≤1，∴ －1≤ｙ≤－（1／2）．
由ｙｍａｘ＝－（1／2），得
1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝－（1／2）ｋ＝1；
由ｙｍｉｎ＝－1，得1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝－1ｋ＝（1／2）或（3／2）．
所以当ｋ＝1时，ｃｏｓ（β－γ）取最大值－（1／2）；
当ｋ＝（1／2）或（3／2）时，ｃｏｓ（β－γ）取最小值－1．
此题实际上只是以复数作为载体，求给条件的余弦函数的最值，进而又转化为求条件分式函数的最值．运用了均值不等式，也可利用判别式法求上述分式函数的最值．（留给读者自己完成）
例3 设复平面内两点A、B对应的复数分别为α、β，且｜α－2｜＝1，β＋（1＋ｉ）α＝0，O为原点．试求△ＡＯＢ面积的最大值和最小值，并且求相应的复数α、β．
讲解：由三角形面积公式Ｓ＝（1／2）｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜·ｓｉｎ∠ＡＯＢ知，只要求得｜ＯＡ｜、｜ＯＢ｜及∠ＡＯＢ的值就行了．由复数的几何意义知，｜ＯＡ｜＝｜α｜，｜ＯＢ｜＝｜β｜；由复数乘法的几何意义可求得∠ＡＯＢ的值．于是有如下解法：
由β＋（1＋ｉ）α＝0，得β＝－（1＋ｉ）α．
∴ ｜β｜＝
β＝｜α｜，２２２２２２２２２２２２２２２（ｃｏｓ（5π／4）＋ｉｓｉｎ（5π／4））α．
由乘法的几何意义及三角形内角的范围知
∠ＡＯＢ＝（3π／4），∴ Ｓ△ＡＯＢ＝（1／2）｜α｜·｜β｜ｓｉｎ（3π／4）＝（1／2）｜α｜．
又∵ ｜α－2｜＝1， ∴ 可设α＝2＋ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ， 则｜α｜＝
∴ Ｓ△ＡＯＢ＝（1／2）（5＋4ｃｏｓφ）．
当ｃｏｓφ＝－1，即α＝1，β＝－1－ｉ时，Ｓｍｉｎ＝（1／2）；当ｃｏｓφ＝1，即α＝3，β＝－3－3ｉ时，Ｓｍａｘ＝（9／2）．
若明确｜α－2｜＝1是以（2，0）为圆心，1为半径的圆的复数方程时，可画出图形，由图形的直观性可立即得出结果．
①在由｜ｚ－ａ｜＝ｒ（ａ∈Ｒ）求｜ｚ｜的最值时，可作出ｚ＝ａ＋ｒ（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα）的巧妙变换，即可将求复数模的最值转化为求三角函数式的最值，然后利用三角函数的有界性求解；，２
②若能注意到复平面内一些特殊曲线的方程，画出图形后就可简化求解过程．
三、专题训练
1．在复平面中设复数－3＋3ｉ对应的点是P，以原点为极点，实轴正半轴为极轴，建立极坐标系．那么点P的极坐标是（）．
Ａ．（Ｂ．（－
3，（3π／4）），（5π／4））
Ｃ．（3，（5π／4））
Ｄ．（－3，（3π／4））
2．设ｚ１＝－1，ｚ２＝（1／2）＋（／2）ｉ，则ｚ１、ｚ２、、所对应的点：①在单位圆１２
上；②它们是正方形的顶点；③它们关于y轴对称；④它们可构成正三角形．以上说法中，正确的只有（）．
Ａ．①
Ｂ．③
Ｃ．①③
Ｄ．①④
3．设复数ｚ＝ｓｉｎ（π／6）＋ｉｃｏｓ（π／6），若ｚｎ＝
Ａ．
3Ｂ．
4Ｃ．
5Ｄ．6
4．已知等边三角形ABC的面积等于
虚轴正半轴上，则向量，若把三角形放到复平面中，使A点重合于原点，AB边落在，则自然数ｎ的最小值是（）． 所对应的复数是（）．
Ａ．1＋
Ｂ．1－
Ｃ．
Ｄ．±ｉ ｉ＋ｉ ＋ｉ
２5．设复数ｚ＝ｃｏｓθ＋（2－ｓｉｎθ）ｉ，当θ∈（－（π／2），（π／2））时，复数ｚ在复平面内对应点的轨迹的方程是________．
6．设复数z在复平面内对应的点为Z，将点Z绕坐标原点按逆时针方向旋转（π／4），再沿实轴正方向平移1个单位，向上平移1个单位，得到点ｚ１．若点ｚ１与点Z重合，则复数z的值等于________．
7．已知辐角分别为θ１、θ２的复数ｚ１、ｚ２满足ｚ１＋ｚ２＝5ｉ，｜ｚ１·ｚ２｜＝14，则ｃｏｓ（θ１－θ２）的最大值是________．
8．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为ｚ１、ｚ２，ｚ１、ｚ２的辐角主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为（1／3）+（1／15）i，求tg（α+β）．
9．如图6-3，B是半圆O上的动点，OB=1,OA=2,△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，建立适当的坐
标系，利用复数求点B对应何复数时，O、C两点距离最大，并求此最大值．
图6-
310．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数ｚＯ、ｚＡ、ｚＢ、ｚＣ依次是0、2＋（ａ／2）ｉ、－2ａ＋3ｉ、－ｂ＋ａｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），求平行四边形OABC的面积．
