利用导数的几何意义解题_导数几何意义的应用

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利用导数的几何意义解题

函数yf(x)在点x0的导数就是曲线yf(x)在点（x0，f(x0)处的切线的斜率，这就是导数的几何意义．这个导数的几何意义在高考中已成为考查的热点．

１．求函数的解析式 例１已知函数f(x)ax6的图像在点Ｍ（－１，f(1)）处的切线方程为：x2bx2y50．求函数f(x)的解析式．

解：由函数f(x)ax6的图像在点Ｍ(1,f(1))处的切线方程为：x2y50知x2b12f(1)50，即f(1)2．

1a(x2b)2x(ax6)/∴Ｍ（－１，－２）且f(1)，又f(x) 222(xb)/a62a2b41b∴ ，即a(1b)2(a6)1

a(1b)2(a6)1(1b)222(1b)2解得a2,b3(b10)∴所求函数解析式为f(x)2x6． x23评注：本题是利用待定系数发求函数的解析式，解决此类问题的关键是根据题中条件列出关于a,b的方程组．函数函数f(x)在点Ｍ(1,f(1))的导数就是曲线f(x)在点Ｍ(1,f(1))处的切线的斜率．

２．求切线的夹角 例２ 曲线y2答）．

121x与yx32在交点处切线的夹角是————（用弧度制作241213xx2，解得x2． 241213即y2x与yx2的交点坐标为（２，０）

24121332//令f1(x)2x，f2(x)x2，则有：f1(x)x，f2(x)x，2441213/∴曲线y2x与yx2在交点处切线的斜率分别为k1f1(2)2，24解：令2k1f2/(2)3

设两切线的夹角为，则tan故曲线y23(2)1

1(2)3121x与yx32在交点处切线的夹角是． 244评注：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式；解决问题的关键在于第一步．

３．求参数或参数范围

3例３曲线yx3在点（a，a）（a0）处的切线与x轴、直线xa所围成的三角形面积为1，则a＝———— 6解：∵yx3，∴y/3x2，∴kf/(a)3a2 ∴切线方程为ya33a3(xa)令y0，得x∴S2a，令x0，得ya3，31211aaa3a4，∴a41，a1． 2366评注：本题通过求导，利用导数在某点的几何意义求切线斜率的值或相对应的切线方程，建立等式或不等式，进而解决参数问题；本题从导数知识入手，令人耳目一新，体现了导数较高的思维价值．

４．求过某点的切线方程

例４ 设f(x)为可导函数，且满足条件limx0f(1)f(1x)1，求曲线yf(x)在2x点（１，f(1)）处的切线的斜率．

分析：根据导数的几何意义及已知条件可知，与求yf(x)在点（１，f(1)）处的切线的斜率，即求f(1)，注意到所给条件的形式与导数的定义中

/f(x0x)f(x0)/的比较，由已知的极限式变形可求得f(1)．

x0xf(1)f(1x)1

解：∵f(x)为可导函数，且limx02x1f(1)f(1x)f(1)f(1x)1，∴ lim2

∴limx0x02xxf/(x)lim

即f/(1)＝－２

∴ yf(x)在点（１，f(1)）处的切线的斜率为－２．

评注：使用分析综合法的解题思想，兼顾题设，变形构造f/(1)，这种思想是我们经常使用的解题思想．涉及到可导函数的切线的斜率问题，可使用导数的几何意义．求哪一点处的切线的斜率，即求哪一点处的导数（对可导函数而言）．