热力学统计物理试题(B卷)_热力学统计物理试卷

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热力学·统计物理试题（B卷）

适用于200×级本科物理学专业

(200×-200×学年度第×学期)

6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp,其中c为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.附标准答案

1.(10分)解证：范氏气体p

a

vbRT 2v

由式(2.2.7) 

RaUp

p2(5分)=T-p=T

vbvvTTV

aaU

=2U(T,v)U0f(T)

vvTv

U

CV=f(T)；与v无关。(5分)

TV

2．(20分)证明：显然属于一级相变;LT(SS);其中SST,p(T)，在p～T相平衡曲线上.SdpdLS

SSTTdTTpdT

SSS其中： 

TTPTP

SSdpSdp

[](5分)TpdTTdTPP

又有：CPT

S

；LT(SS)TP

由麦氏关系(2.2.4): 

SV

（5分）

TPpT

上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：

dLL

cp-cpdTT

v

TvL

Tvv(5分)pp



若相是气相，相是凝聚相；V

V～0；T～0；

p

相按理想气体处理。pV=RT



dL

cpcp(5分)dT

3．（10分）证明：（1）U(T,V,n1,nk)U(T,V,n1,nk)

根据欧勒定理，xiff，可得

xii

Uni

i

UU

(5分)V

niVUUUU

Vni(vi)niui niVnViii

（2）U

ni

i

ui

UU

(5分)vi

niV

4．（20分）证明：出现某状态s几率为Ps

设S1,S2,……Sk状态对应的能级s

设Sk+1 ,Sk+2,……Sw状态对应的能级s

类似………………………………

es

则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 PS；

N

显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，NPSe

S

。于是

e



S

代表

SKS

个粒子在s上的K个微处于S状态下的粒子数。例如，对于s能级eSS

1

观状态的概率为： P

SPS粒子数P

Skes SSS1



类似写出：P

SP

SkesSSS1



………………………………………………等等。(5分)

于是N个粒子出现某一微观状态的概率。

PPS

SS

S

P

Sk

seSSS1

P

Sk

es SSS1

一微观状态数，（基于等概率原理）P

Skln(5分)

Skln

SkSW

SSeePPSSSSK1SS1

（5分）

SW

SKSkelnPSeSlnPS

SK1S1



将NPSe

S

带入SkN

P

S

S

lnPS(5分)

5．（20分）证明: 在体积V中,ω到ω+ dω的频率范围内准粒子的量子态数为

g()d

4V21/2

pdpBd3h,（5分）

推导上式时,用到关系pk.这里B为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的0.系统的内能为

E0

m

3/2

m

g()dB0d

e1e1,（5分）

考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率可令

m.但在低温下1,在积分中

m.设x,则有

E



CT5/20

x3/25/2xdxTe1,（5分）

E

CVT3/2

TV其中,C为常数.易得.（5分）

6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp,其中c为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.解: 在体积V中, 到 + d 的能量范围内电子的量子态数为

g()d

8V28V2

pdpd333hhc.（5分）

01,f

0.0,绝对零度时,费米函数为

08V8V3

Nfg()d332d330

3hc0hc总电子数满足,3N

0

8V可求出费米能量

Efg()d

1/3

hc

.（5分）

d3

08V

电子气的内能

h3c

8V43

N0330

44hc.（5分）

气体的简并压

pd

EN

03V4V.（5分）