《数学教学论I》讲稿(0910112)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“论数学教学中合作学习”。
《数学教学论I》讲稿
目 录
绪论
第一章 中学数学教材研究
第一节 中学数学教材的内容选取与体系设计 第二节 现行初中数学教材的研究 第三节 现行高中数学教材研究
第四节 中学数学教材的分析和处理
第二章 新课程理念下数学课堂教学设计
第一节 初中数学新课程教学设计 第二节 高中数学新课程教学设计
第三章 中学数学说课理论与实践
第一节 中学数学说课理论 第二节 中学数学说课实践
第四章 初等数学思想方法
第一节 字母代数思想 第二节 化归与变换思想 第三节 数形结合思想
第四节 特殊化与一般化思想 第五节 分类讨论思想
第五章 初等代数典型解题方法
第一节 主元法 第二节 集合法
第三节 整体思维法 第四节 抽屉原则法 第五节 特殊化法
第六节 构造法 第一节 基本图形分析法 第二节 几何变换法 第三节 转换法 第四节 割补法 第五节 作辅助线法 第六节 构造法 第七节 面积法 第八节 代数法 第六章 初等几何典型解题方法
第一章 中学数学教材研究
中学数学教材（简称教材,俗称课本或教科书）—— 根据课程标准或教学大纲编写的教学用书 ——中学数学教学的依据和媒体。
本章主要内容：
中学数学教材的内容选取与体系设计 现行中学数学教材编写特点 中学数学教材内容的分析与处理 中学数学课堂教学设计
第一节 中学数学教材的内容选取与体系设计
一、中学数学教材内容选取的要求
1.现实性、趣味性、挑战性 2.基础性、工具性、普及性 3.教育性、需要性、可接受性 4.统一性、灵活性、发展性 5.衔接性、连续性、制约性
二、中学数学教材体系的形成定义：经过教学法加工而形成的数学知识体系，它所展现的是数学知识序列及数学知识间的相互联系
三、中学数学教材体系编排的类型
以逻辑系统为主来安排内容
这种类型是用公理、定义、定理、推论等形式把教学内容编排成比较严谨的演绎体系（如欧氏几何体系）
四、中学数学教材体系编排的形式
按内容是否分科划分——分科体系与综合体系
I、分科体系
特点：各科内容单独编排、自成体系。例如：代数、几何、三角 不足：
① 割裂彼此间的密切联系；
② 不利于学生对数学的整体认知； ③ 不利于学生综合能力的培养。
II、综合体系
特点：各科内容 ①混合编排； ②组成体系。
例如：美国的SMSG教材。
按内容的发展顺序来划分------直线式与螺旋式
I、直线式[德国教育家赫尔巴特（J.F.Herbart）]
将某一内容一次编排完毕，一讲到底，一次达到所需的最高要求。
特征：
① 一次性编排完毕；
② 一次性连续讲授；
③ 一次性达到最高要求;2 例如：方程 一元一次方程------一元二次方程------一元高次方程；
解析几何 平面直角坐标系---直线--圆锥曲线--参数方程与极坐标
优点: ①可以节省教学时间;
②对学生所学内容来说都是新知识，容易激发学生的学习兴趣。
缺陷: ①以学科为中心，以教材为中心，偏重于考虑教材内容本身的逻辑系统;
②着重考虑将教材内容直线式传授给学生，未考虑学生能否接受，忽略
了学生认识过程的心理特征。
II．螺旋式[美国教育家布鲁纳（J.S.Bruner）] 将某一内容经过几个阶段循环编排，逐步加深发展，使学生在逐次循环中
反复接触一些基本或重要的概念，直到完全掌握与这些概念相应的完整的知识 体系。
特征 ：
① 分段处理，循环编排； ② 逐步加深，反复接触； ③ 强化认知，牢固掌握。优点：
从学科的逻辑系统来看：重视课程内容由简到繁，由易到难的逻辑组织，重视学科的基本概念和基本原则；
从学生心理发展的角度来看：重视学生认知结构及其发展阶段，使认
识逐步深化，因而有助于知识的掌握和学生认知能力的发展，也有助于
学习的正向迁移。
缺陷：螺旋课程需要较多的教学时间，这是它的局限性。
五、中学数学教材体系编排的原则
——遵循三大规律、四项具体原则 三大规律
1)逻辑规律：按前因后果的逻辑顺序安排数学知识体系：
2)认识规律：按“实践—理论—实践”认识程序安排数学知识结构；
3)心理发展规律：按由低级到高级的层次安排数学知识系统。 四项具体原则
1)系统性原则
①逻辑性——数学是一门演绎科学，逻辑严谨性是它的一大特征。
数学教材中一切数学概念的展开都应以概念间的内在联系为依据；所有数 学命题的建立都要以学科公理为基础，用逻辑推理的方式来证实。
②连续性
I．数学课程内容体系的组织要遵循学生认识发展的规律，既不能割断学生思
维活动连续渐进的过程，也不能颠倒思维发展阶段的必然联系。
II．数学知识间的过渡应当连续，对于抽象程序较高的概念、原理和数学思想
方法应采取逐级渗透的方式作出统筹安排；
III．代数、几何各学科内容之间要有相应的认知水平，使各科教材在同一时期 3
有相同的发展水平，在不同时期又有连续的发展。2）应用性原则
所谓应用性原则就是要运用已有数学理论去解决面临的问题，这里既包括数学理论自身的问题，也包括现实世界的实际问题。
3）主体性原则
转变教育思想: 传统的应试教育思想（精英教育）——现代的素质教育思想（大众教育）
改变教学方法
注入式教学法 启发式教学法
“三个中心” “三为主”
以课堂为中心 以教师为主导
以教材为中心 以学生为主体
以教师为中心 以训练为主线
①面向全体学生
满足不同地区、不同民族、不同程度学生数学需求和发展的需要。②处理教与学的关系（教是为了不教）
重点在于处理好教与学的辩证关系：既要体现学生的主体地位，又
要有利于发挥教师的主导作用；在教与学的矛盾中学生的学是主要方面，教的目的是帮助学生学，因而教材内容的编排也要有助于学生学习。要
充分考虑学生的年龄特征、思维规律和认识特点，开展适宜的实验研究，进一步落实主体性原则。
4）一体化原则——数学教材内容编排的又一条重要原则
课程、教材、教法的一体化。
第二节 现行初中数学教材的研究
新教材理念：数学教学的最终目的是学生的整体发展。
由于不同的学生头脑中所理解的数学带有明显的“个性色彩”，他们的数学学习活动应 当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。在这个意义之下，数学教材需要改变原 有的内涵和形式——不再是学生从事数学学习 活动时的模仿对象.或者说，她向学生提 供的不再是一种“不容改变”的、定论式的客观数学知识的结构，而应当具备新的含义。新教材观点
1)数学教材应当是学生数学学习的基本素材；
2)教材为学生的数学学习活动提供了基本线索、基本内容和主要的数学活动机会。
3)教材是学生从事数学学习活动的“出发点”，而不是“终结目标”。初中数学新教材的基本内容
传统的初中数学教材内容是以数学知识为主线出示的，主要有“数及其运算”、“式及 其运算”、“方程与不等式”、“函数初步”、“统计初步”、“平面几何”，其中包括直线形（平 行线、三角形、四边形、多边形）、圆、相似形和解三角形的基 4 本知识。
现行初中数学教材内容是以学生的认知结构领域出示的，四个领域的内容标准是“数 与代数”（数与式、方程与不等式、函数），“空间与图形”（图形的认识、图形的变换、图形的坐标、图形的证明），“统计与概率”，“实践与综合应用”（课题学习）。
初中数学新教材内容选择的依据
1、依据义务教育的性质和需要
选择最具基础性和工具性价值并且是初中学生都能够掌握的数学知识
让学生学习；
2、依据初中学生的年龄特征和接受能力；
选择大多数学生都能够接受、理解和掌握的数学知识让学生学习；
3、依据现代教育科学技术发展的趋势和社会发展的需要。
选择未来社会对数学需要的较新的内容让学生学习和体验。初中数学新教材内容选择的原则
1、基础性原则；
2、可接受性与发展性相结合的原则；
3、统一性与灵活性相结合的原则；
4、教育性原则。
初中数学新教材的编排原则
1、正确处理数学知识的逻辑顺序与初中学生心理发展顺序的关系，把知识的系
统性和证明的严谨性和学生的可接受性和兴趣性相结合；
2、突出初中数学知识中的基本概念和基本规律，加强各部分知识间的纵横联系；
3、将相关知识（例如方程、不等式、函数）适当分段、螺旋上升、由浅入深、循序渐近地进行编排；知识结构力求简明；适时渗透数学思想方法。
4、结合初中数学教学内容，还应适当编排一些数学史的知识作为激发初中学生
学习的阅读材料。初中数学新教材内容的呈现
初中数学教学内容的呈现，在内容的表述上要注意趣味性、可读性，在内容的呈现上要图文并茂、有直观性，在内容的组织上要体现知识的形成过程。第三学段教材内容——体现了中学数学学科的知识结构
1、在“数与代数”中，“数与式、方程与不等式、函数”的呈现方式是适当分段、螺旋上升的；
2、在“空间与图形”中，“图形的认识、图形的变换、图形的坐标、图形的证明”的呈现方式基本上是“直线型”的；
3、在“统计与概率”中，呈现方式以强调“过程体验”与利于“探究发现”为主；
4、在“实践与综合应用”中，“课题学习”以“贴近初中生生活”与“提倡合作交流”为主。初中数学新教材特点
教材体系采取“混编”的方式
优点：
(1)关注不同数学内容之间的联系，即突出数与代数、空间与图形、统计与
概率之间的实质性关联，体现数学的整体性。展示使用不同领域的数学
知识去表达与思考同一研究对象、以及综合运用多种数学知识解决问题的过程，以提高学生综合运用数学知识的能力、发展良好的数学观．
(2)引起学生的学习兴趣，丰富学生的思维方式，培养每一位学生数学学习的自信心。
1、教材采用由浅入深、逐级递进、螺旋上升的方式逐步渗透重要的数学思想方法。如符号感、函数思想、统计意识、推理能力、空间观念等．
2、在教材中每一册的“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”等学习领域中，学 生们都将有机会感受、应用与领悟相关的数学思想方法。
3、力图体现“问题情境—数学模型—解释、拓广与应用”的模式(展开学习数学主题，在了解知识来龙去脉的基础上，理解掌握相应的学习内容)．
问题情境
以学生自身和周围环境中的现象、自然、社会、其他学科或数学中的问题为知识学习的切入点
问题串（设立有层次的探索性问题）
──活动（自主探索与合作交流）
──思考与整理（提炼出数学对象）
──表达（用自己熟悉的方式、语言及数学符号表达学习对象）
明晰（较为正规的数学语言表达重要数学对象）
——例题（随各部分的特点而定）
——随堂练习
——阅读材料（每章至少有一个”读一读”栏目）
——作业（*）
回顾与思考：不采用“呈现”的方式，而是通过问题的形式，以帮助学生 通过思考与 交流，去梳理所学的知识、建立符合个体认知特点的知识结构．逐 步形成反思的意识．
4、教科书呈现了大量丰富的具有现实意义和数学意义的、具有挑战性的、具有一 定趣味性的素材或问题情境。
教学需要情境的支撑
案例1：
为了研究比较大的数如指数的位数时，可以选取“2的24次方是几位数？” 这样的问题，但如果直接呈现上述问题，学生对此并不关心。而换一个提法，效果就大不一样。
“某人听到一则谣言后1小时内传给2人，此2人在1小时内每人又分别传 给2人，„如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗？”
初中数学教材特点
案例2：
“已知两个同心圆的半径，求圆环面积。”
——这是每个学生都能解的问题。
而把问题换一种提法：
“用比地球赤道长1米的绳子给地球加个圈，在地球与绳子之间必然存在 一定的缝隙，这个缝隙中能够放进一个拳头吗？缝隙的面积有多大？有人估计 大不了多少（地球赤道的周长约为4万千米），可是有人估计缝隙的面积比你们 学校大多了，你的意见呢？”
5、满足多样化的学习需求
教材在保证基本要求的同时，也为有更多数学学习需求的学生提供有效的途径。
“开放性的问题或问题串”：使每位学生都能参与，不同的学生获得不同的发展。
“读一读” 栏目：包括数学史料或背景知识的介绍、数学在现实世界或科学技术中的应用、有趣的或有挑战性的问题讨论、有关数学知识的延伸等，目的在于给有特殊需求的 学生以更多了解数学、研究数学的机会． 教材中的习题分类：
一类是面向全体学生，帮助他们巩固新学的知识、技能和方法，加深 对相关知识和方法的理解，属于基本要求．
另一类是“试一试”（C组）:仅仅面向有特殊学习需求的学生，以进一步理解和研究有关知识与方法，不要求全体学生都尝试去完成它们．
七、初中数学新教材(北师大版)七上： 七下：
第1章 丰富的图形世界 第1章 整式的运算 第2章 有理数及其运算 第2章 平行线与相交线 第3章 字母表示数 第3章 生活中的数据 第4章 平面图形及其位置关系 课题学习 制作人口图 第5章 一元一次方程 第4章 概率 第6章 生活中的数据 第5章 三角形
第7章 可能性 第6章 变量之间的关系 第7章 生活中的轴对称
课题学习制作一个尽可能大的无盖长方体形纸盒 八上： 八下：
第1章 勾股定理 第1章 一元一次不等式（组）课题学习 拼图与勾股定理 第2章 分解因式 第2章 实数 第3章 分式 第3章 图形的平移与旋转 第4章 相似图形
第4章 四边形性质探索 课题学习 制作视力表
第5章 位置的确定 第5章 数据的收集与整理
第6章 一次函数 课题学习 吸烟的危害
第7章 二元一次方程组 第6章 证明
（一）第8章 数据的代表
九上： 九下：
第1章 证明
（二）第1章 直角三角形的边角关系 第2章 一元二次方程 第2章 二次函数 第3章 证明
（三）课题学习 拱桥设计 第4章 投影与视图 第3章 圆第5章 反比例函数 课题学习 设计遮阳蓬 课题学习 猜想、证明与拓广
第6章 频率与概率 第4章 统计与概率
八、初中数学新教材编写意图 教材对数的处理思路：
关于有理数和实数，从数学的发展进程来看，它们最初出现的主要原因并不是因为¡°扩充运算¡±的需要，更多的还是由于对实际现象（事物）的¡°表示¡±需要。这一点应当在学生认识它们的过程中得到反映。
对于有理数和实数的引入就采用了：产生的实际背景¡ª¡ª数的意义¡ª¡ª数的表示的线索。对于数的运算，则让学生借助已有的相关知识和经验，通过归纳、类比等活动去获得有关的运算法则和运算律。这样的处理，既便于学生的学习，又有益于发展其一般数学能力，促进数学思考和解决问题目标的实现。案例：无理数的引入（八上）活动1：数怎么又不够用了? 教科书对式的处理思路：
代数是表示、交流与解决问题的工具。关于代数式的运算（含因式分解），则力图突出运算的含义、几何背景、运算原理和作为工具的意义——解决问题的需要。淡化为运算而运算的思路，消除“代数运算就是符号游戏”的看法。
计算机（器）的介入，又使得复杂的代数运算可以借助机器去完成，因此，代数内容的重心就从关注计算转向关注模型、表示与计算。案例：“代数式” 的开始课
教科书对于方程的处理思路：循序渐进
以“问题情景---数学模型---解释拓广与应用”的模式展开教学。关注问题情境的多样性，注意了题材的现实性、科学性和趣味性。将方程技能的训练贯穿于问题解决之中。
方程应用中避免题型化。问题讨论: 1.方程学习的重点是什么? 方程观念? 体现模型化思想,体现方程的应用,强调利用多种方法寻求方程的解(精确解或近似解)2.运用方程解决实际问题是否要分类? 教科书对于不等式的处理思路：与方程类似 教科书对于函数的处理思路：
作为“变化过程中变量之间关系”的数学模型。采用“注重背景、及早渗透、关注联系，推迟形式化”思路
本套教科书对函数的学习是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计的：
※ 七上《字母表示数》
※ 七下《变量之间的关系》
※ 八上《一次函数 》
※ 九上《反比例函数》
※ 九下《二次函数》
一、空间与图形的处理
最基本目标发生显著变化：发展学生的逻辑论证能力——发展学生的空间观念
● 图形的认识；
● 图形与变换；
● 图形与坐标；
● 图形与证明。
●图形性质部分的处理方式：先空间，后平面；先探索，后证明。
●图形与坐标部分的处理方式
确定物体位置的活动—确定物体位置的不同方法—坐标系—解决问题。
●图形与变换部分的处理方式
关注生活中的变换现象，将变换作为认识图形的一种方法，而变换本身
所具有的性质则不作为学习的重点。
●图形与证明部分的思路
——证明学习的铺垫：
数学证明的学习包含两个不同的方面：理解逻辑关系和形式化表达逻辑关系。
a)理解逻辑关系是核心，而且它有一个发展的过程；
b)表达则是形式、对它的掌握有一种抽象的要求。
二、图形与证明部分的处理
让学生在探索图形性质的活动中就从事“推理”活动：首先关注对逻辑关系的理解，而对于因果关系的表达形式，则采用符合学生认知水平的处理方式，作一些铺垫——鼓励学生使用具体的、形象化的自然语言或图像（箭头、具体图形）表达相应的逻辑关系，规范的形式化证明则稍后进行。
证明学习的重点——证明学习的重点不是特定的证明技巧。
关注的是对证明必要性的感受——意识到为什么需要证明；
对证明基本过程的理解 ——知道证明一个结论需要做哪些工作； 对基本证明方法的掌握——能够运用基本的方法证明一些结论。
展开的线索：在探索图形性质的过程中采用“说理”的方式处理一些步数较少的推理问题，通过提供几个方面的实例，说明证明的必要性以及证明中需要使用的数学语言、符号。形式化证明：以需要证明的对象为标准分类，处理“标准”上的命题。
三、统计与概率
学习目标：统计观念和随机观念 为什么要学统计？
随着科学技术的迅猛发展，统计知识在各项各业中的应用已经越来越广泛，具有良好的统计观念是每一个公民的基本素质。中小学生掌握一些统计知识，初步具备对数据的收集、整理、描述和分析的能力，已经成为时代的要求。统计教学的目标是什么？
使学生“经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念”，因而发展学生的统计观念应是统计教学的重要目标。统计观念的外在表现
主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、9 描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结论进行合理的质疑。简单地说，统计观念是统计意识、统计技能和统计评判质疑能力的统一体。统计有关知识与教科书的设计思路
1)加强统计全过程的教学
2)注重教学素材及其呈现方式的多样化 3)关注学生对知识的意义理解与应用 为什么要加强概率教学（1）随机现象的普遍性
在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定现象（又称随机现象，即在相同的条件下，重复同样的试验，其试验结果却不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现）却是大量存在的，因而具有研究的必要性。
当今社会媒体正在增加使用相应的语言与内容，因而学生有必要了解这些内容以便更好的获取信息。概率教学的目标是什么？
通过认识随机事件及其发生的概率，使学生认识到现实世界广泛存在的随机性，形成初步的随机观念，并能对现实世界中一些简单的随机现象作出解释、利用随机观念作出自己的决策。随机观念的外在表现和层次
学生对随机观念的认识表现为两个层面：对随机现象本体的认识和应用随机观念解释自然、社会现象、解决实际问题的一种行为主动性或者说一种主动的应用意识。
对随机现象本体认识的几个层次：
（1）理解确定事件和不确定事件的基本概念，能够辨别一个事件是否是确定事件。（2）粗略地感知某一事件发生的可能性。
（3）用数量较为精确地刻画具体某一事件发生的可能性。（4）理解某一事件发生的实验频率与理论概率存在偏差，而且偏差的存在是正常的、经常的。
（5）理解模拟实验或随机抽样结果的随机性。
四、课题学习
“实践和综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的，具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。思考题
简述中学数学教材编排的主要类型 简述中学数学教材编排的基本形式 简述中学数学教材编排的基本原则 简述初中数学新教材的特点
北师大教科书特色
1、为学生的数学学习构筑起点 提供大量的数学活动线索,成为供所有学生从事数学学习的出发点.，目的使学生在教 科书所提供的学习情境中,通过探索与交流等活动,获得必要的发展.2、为学生提供探索、交流的时间与空间
有意义的数学学习方式：动手实践、自主探索与合作交流。教科书在提供学习素材的 基础上，还依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操作、思考与交流的机会。
提出大量富有启发性的问题，设立了“做一做”、“想一想”、“议一议”等栏目，以使 学生通过自主探索与合作交流形成新的知识，包括归纳法则与方法、描述概念等。同时，章后的回顾与思考、总复习也以问题的形式出现，以帮助学生通过思考与交流，梳理所学 的知识，建立符合个体认知特点的知识结构。
3、展现数学知识的形成与应用过程
经历知识的形成与应用的过程，将有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好 数学的信心。
教材采用“问题情境—数学模型—解释、拓广与应用”的模式展开。所有新知识的学 习都以对相关问题情境的研究作为开始，这是了解与学习这些知识的切入点。
通过对一个个问题的研讨，逐步展开相应内容的学习，有助于学生经历真正的“做数学”和“用数学”的过程，并在此过程中逐步建立数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力等。
4、满足不同学生发展的需求
“读一读”栏目提供了有关数学史料或背景知识、数学在现实世界和科学技术中的应 用实例、有趣的或的挑战性的问题讨论、有关数学知识延伸的介绍等。目的在于让学生更 多了解数学、研究数学的机会。教科书习题分两类：面向全体学生、面向特殊学生。
第三节 现行高中数学教材研究 序：基本想法
教材编写过程简述
高中数学教材的体系与结构 高中数学教材的主要特色 序：基本的想法 理论背景
1、建构主义理论；
2、多元智能理论。设计理念
1)大众化——从“精英数学”转向“大众数学”；
2)选择性——不同的人学习不同的数学；设有基础性课程、拓展性课程、研究性课程。
3)实用性——从实践中来，到实践中去。设计思路
1)具有先进的教育理念：人的终身发展——给学生留下什么动力？ 2)展示数学的内在本质：体现数学价值——给学生留下什么数学？3)应用学习心理学成果：学习的主动性——给学生留下什么空间？ 4)集中教师的优秀经验：教学的启发性——给教师留下什么空间？ 5)选择精典新思的素材：素材的思维性——给选材留下什么示范？ 6)吸收国内外教材精华：教材的兼容性——给教材留下什么风格？ 教材的主要内容与编写
内容：基本初等函数（五种）、数列、概率统计、平面解析几何、立体几何。编写：把这些比较系统的内容分散开来按模块编写。模块：分必修与选修，必修五个模块（5本书），理科选修系列2——三本书，共8本书，文科选修系列1——二本书，共7本书。主编：人教（A）刘绍学 ； 人教（B）高存明
北师大：严士健、王尚志；湖南教育：张景中 ；江苏教育：单 墫；湖北教育：
齐民友。
教材内容: 选修模块（1册/模块）教材的体系与结构
1、章
由章头图、引言、各节内容、本章回顾、复习题、探究案例、实习作业等内容构成的整体。引言包括：
①本章的主背景，以入口较浅的生活或学生能理解的实例，引发学生思考。这个背景又是
本章核心内容的原型，在一章中将多次按不同层次或方向出现，统领全章。
②引领本章内容的问题。这是本章的生长点、核心内容或研究方法，它将激发学生探索新
知识的欲望。
2、节
节包括内容组织、活动开展、拓展栏目、习题、阅读等内容。
节为教学的基本单元，每节有自己的小系统。
每节开头在章的背景下，给出分支背景，围绕章的问题，提出相应问题。
这些问题就是本节的起点、核心内容的出发点。教材的内容组织与呈现形式
问题情境 意图：提出问题（包括实例、情景、问题、叙述等）
学生活动 意图：体验数学(包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型
提出方法等个体活动，包括讨论、合作、交流、互动等小组活动）意义建构 意图：感知数学（包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等）数学理论 意图：建立数学（包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等）数学运用 意图：运用数学（包括辨别、变式练习、解决简单问题、解决复杂问题）（1）组织形式：情境 活动意义 理论 运用 反思。
（2）拓展栏目：主要方式：思考、实验、探究、阅读、链接等，穿插在各环节中。（3）习题、复习题：三个层次：感受²理解，思考²运用，探究²拓展，紧密联
系在一起。
新教材的主要特色——与旧教材对比 五个转变：① 从以“知识体系为主线”向“模块设计”转变 ② 从以“知识传授为主”向“能力培养”转变 ③ 从“注重记忆”向“注重理解”转变 ④ 从“注重结论”向“注重过程”转变
⑤ 从“注重学科知识”向“注重实际应用转变” 八大特色：
① 在内容处理上，力图做到“入口浅，寓意深”。② 在结构设计上，注重整体贯通、互相联系。③ 给学生留有足够的空间，促进学生主动参与。
④ 为教师留有较为广阔的空间，促进教师创造新的教学范式。
⑤ 充分考虑学生的不同需求，为所有学生发展提供帮助，为学生的不同发展
提供较大的选择空间。
⑥ 突出数学本质，返璞归真，适度形式化。⑦ 注重现代信息技术与课程的整合。
⑧ 努力体现数学的文化价值，提升学生的人文素养。
1、在内容处理上：“入口浅，寓意深”
“入口浅，寓意深”是一种指导思想。目的是让学生在丰富的、现实的、与他们经验紧密联系的背景中建立数学理论，获得数学理论后又能及时返回运用到他们的生活中。
章头图给出本章核心概念或原理的直观形象。引言说明数学的来历，提出本章的核心问题或研究方法。正文建立数学理论、给出运用、研究方法。本章回顾是由厚到薄的反思过程，对全章作概括、整理、提升。
每一个环节“入口”紧密相连，循序渐进，“寓意”不断加深。入口浅
问题情境——数学问题——叙述——文化——活动——图片„„ 寓意深
1)数学知识: 概念,规律,模型,算法„ 2)数学方法: 通法,一般方法,具体方法„
3)数学思想: 建立数学, 提出问题, 解决问题„
4)数学精神: 数学价值, 数学美, 数学文化, 理性精神„ 【案例】 “集合”一章的引言
数学也是一种语言,从它的结构和内容来看,这是一种比任何国家的语言都要完善的语言.„„通过数学,自然界在论述;通过数学,世界的创造者在表达;通过数学,世界的保护者在讲演.狄尔曼
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快地飞翔；
茫茫的草原上，一群羊在悠闲地走动；
清清的湖水里，一群鱼在自由地游泳；„„
鸟群、羊群、鱼群„，都是“同一类对象汇集在一起”,这就是本章将要学习的集合．
其实，在学习“自然数”、“有理数”等内容时，我们已经使用了“自然数集”、“有理数集”等术语．我们知道，所有的自然数在一起构成“自然数集”，所有的有 13 理数在一起构成“有理数集”．这里，用“集合”来描述研究的对象，既简洁又方便．那么，我们不禁要问：
集合的含义是什么？
集合之间有什么关系？
怎样进行集合的运算？
2、在结构设计上：整体贯通、互相联系（1）整体贯通
教科书在编写时从整体出发，按知识发展、背景问题、思想方法三个纬度整合，将全书—模块—章—节—单元做整体设计，实现整体贯通。
示意图
思想方法
背景问题
知识发展
全书 模块 章 节 单元
六条主线：函数,几何,运算,算法,统计概率,应用.教材主线之一：抓来龙去脉——函数（2）互相联系
① 加强数学与“外部”的联系。教科书充分关注数学与自然、生活、科技、文化、各门学 科的联系，让学生感受到数学与外部世界是息息相通，紧密相连的。
② 加强数学自身的联系。主要加强不同章节内部的联系、同一模块内部的联系、不同模块之间的联系。在编写时充分考虑解几与三角、函数与三角、解几与向量、向量与三角等内容之间的联系。
③ 加强教科书各栏目之间的联系。主要加强背景、内容、例题、练习、习题、复习题之间 的联系；加强章背景、节背景、解决问题的背景之间的联系；加强章问题、节问题、内容 呈现的问题、例题、习题中的问题之间的联系；加强章头提出的思想、内容展开的研究 方法、解决问题中需要的方法、章回顾中的总结之间的联系。
教材充分考虑学生的不同需求，为所有学生发展提供帮助，为学生的不同发展提供较大的选择空间
（1）教材中的引言、正文、练习、习题中的“感受²理解”部分、阅读、探究案例、实习作业、本章回顾等内容构成一个完整的体系。它是教材的核心，体现了高中数学教学的基本要求，是所有学生应当掌握的内容。编写时，力图使所有学生都能理解。
（2）考虑广大同学的不同需要，教材提供了较大的选择空间。主要是设计了一些具有挑战性的 内容，包括思考、探究、链接、习题中的“思考²运用”、“探究²拓展”等，以激发学生 探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，学生可自主选择其中一些内容作思考与探究。
教材突出数学本质,返璞归真,适度形式化
教材努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生在充分理解 概念、结论的情形下，按数学的规范要求建立适度的形式化表达。
注意自然语言与数学语言的转化，以及表象、原型对数学学习的作用。在推理方面，结合观察、实验，通过归纳推理、类比推理等建立数学猜想，而后进行验证，说理，对于《标准》要求证明的结论，再给出严格的逻辑证明。教材注重现代信息技术与课程的整合教材在编写时注重信息技术的整合，把信息技术作为一种让学生主动探究、分析研究的工具，让学生利用信息技术进行发现、创造，同时也为学生学习和掌握信息技术提供平台。增强学生自觉地运用现代信息技术解决问题的意识和能力.第二章 新课程理念下数学课堂教学设计
第一节 初中数学新课程教学设计
1)初中数学新课程的基本理念 2)初中数学新课程的“课程观” 3)初中数学新课程课堂教学设计
第二节 高中数学新课程教学设计
1)高中数学新课程教学基本理念 2)高中数学新课程教学基本策略 3)高中数学新课程课堂教学设计 4)高中数学新课程教学基本要求
第一节 初中数学新课程教学设计
一、初中数学新课程的基本理念
（一）初中数学新课程的核心理念：为了每一位学生的发展。
（二）初中数学新课程几种主要的理念
1、走向生活
基本理念之一 数学课程要面向学生的生活世界和社会实践；
基本理念之二 教学活动必须尊重学生已有知识与经验。
2、为了孩子美好的明天
基本理念之三 提倡自主、合作、探究的学习方式.3、参与是课程实施的核心
基本理念之四 让学生参与教学是课程实施的核心.4、让课堂教学充满活力
基本理念之五 新课程改革的主旋律是培养学生的创新精神和实践能力
5、教是为了学
◆基本理念之六 教师是学习活动的组织者、引导者、参与者
6、实现课程与教学法的整合基本理念之七 教师是课程创造者与开发者
7、发展才是硬道理
基本理念之八 评价的本质功能在于促进发展
二、初中数学新课程的“课程观”
三、初中数学新课程的教学设计
1.教学目标设计
2.确定教学重点、难点和关键点 第二节 高中数学新课程教学设计
一、高中数学新课程教学基本理念
教学目标——大众化； 学生地位——主人化，学习方式——多样化； 教师角色——多重化，教学过程——活动化； 学生评价——多元化；
教学结构——模块化和专题化；
教学方式——“分步到位”和“螺旋上升”。
二、高中数学新课程教学基本策略 1)自学辅导教学法
确定学习目标—学生自学—检查—集体讨论—教师讲解—练习巩固—小结； 2)合作学习教学法
选定课题——小组设计——课堂交流——呈现学习材料——提交学习结果； 3)探究式教学法
创设问题情境—界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价； 4)网络式教学法
网络环境下的数学教学模式是基于班级授课制下的网络教学模式，是传统课堂学习方式的延伸并丰富了已有的课程资源。
三、高中数学新课程教学设计
1、课堂教学设计的基本内容：
◆学习背景分析 ◆学习需要分析 ◆学习任务分析
◆学习者分析 ◆学习目标的制定和评价
◆教学策略的制定 ◆教学媒体的选择 ◆教学评价等
2、课堂教学设计要回答的三个问题：
◆教什么和学什么？
◆如何教和如何学？
◆教的怎样和学的怎样？
3、课堂教学设计实质：
◆依次是目标、策略、评价三方面的问题。
4、新课程课堂教学设计的程序
1)要做好教学分析，确定教学目标。
教学分析是教学设计的基础，教学目标是教学设计的出发点和归宿。包
括三个方面的工作：
学习任务的分析──教学内容的分析；
学生特征的分析──原有认知结构与认知特点的分析；
学习环境的分析──学习资源环境对教学影响的分析
根据新课程的要求确定本节课的教学目标，这是课堂教学的核心设计。2)要做好课堂教学策略的设计。
包括课堂教学的组织形式、采用何种教学方法、学生的学习活动方式等，这是课堂教学的 主体设计，针对新授课、复习课、讲评课等不同的课型要合理选择不同的教学策略。3)要做好课堂教学设计的描述。
分记述式的课堂教学设计（文字教案）、流程图式的课堂教学设计（图解）
等。把课堂教学设计文字化、图表化，是课堂教学设计的最基本的呈现形式。
四、高中数学新课程教学设计要求
1、分析教材：“十个着眼点”
一是课标的着力点； 二是内容的重难点； 三是资源的开发点； 四是落实的知识点； 五是培养的技能点； 六是情趣的激发点； 七是思维的发散点； 八是合作的讨论点； 九是育人的渗透点； 十是知识的引申点。
2、了解学生： “十知道”
一是知道学生的现有水平；二是知道学生的学习需要； 三是知道学生的学习环境；四是知道学生的学习态度； 五是知道学生的学习方式；六是知道学生的学习习惯 七是知道学生的思维特点；八是知道学生的生活经验； 九是知道学生的个性差异；十是知道学生的认知规律。
3、知识重组： “五个有利”
1)知识重组要有利于缩小教材体系与学生实际水平之间的距离，易于建立“最近发展区”，使学生有可能达到发展水平。
2)知识重组要有利于激发学生的情感，能引导学生有兴趣地学，能激发学生追求知识的欲望，能满足学生对知识“懂”的需要和“会”的需要等。3)知识重组要有利于学生运用智力，积极思维，有利于学生认真听课，深刻领会。
4)知识重组要有利于学生理解解决问题的思路和方法，有利于学生理解知识的发生和发展过程，概念的概括过程，结论的探究过程等。
5)知识重组要有利于培养学生的观察技能、实验技能、调查技能、以及实事求是的态度。
中学分级教学或称分层次教学（因材施教）
学校层面： 试验班、城市班、农村班；尖子班（零班）、重点班（快班）、补习班（复读班）、普通班（并行班）；
班级层面： 课堂教学将学生学习成绩分好、中、差三级。仅是学生学习情况的分 级，而不是学生人格的分级。数学课程理念：
——人人学有价值的数学；
——人人都能获得必需的数学；
——不同的人在数学上得到不同的发展。第三章 中学数学说课理论与实践
主要内容：
第一节 中学数学说课理论
●说课的含义 ●说课的意义 ●说课的特点 ●说课与备课的关系 ●说课与上课的关系 ●说课的内容
第二节 中学数学说课实践
●中学数学说课稿模板
●中学数学说课讲稿模板
●初中数学说课示范稿
●高中数学说课示范稿 前 言
说课活动的产生可追溯到上世纪50-60年代，直到90年代初才形成规范并在全国流行，自1996年在黃山举行的全国初中数学教师评优课大赛中，展示了相当数量的以“说课”形式出现的优质课后，全国各地”说课”活动如雨后春笋蓬勃开展，这是有深刻的历史背景的。
说课是教学实践呼唤教学理论的产物；是新时期高素质学生的培养目标对高素质教师要求的呼唤的产物；是由应试教育向素质教育转轨呼唤的产物。
说课具有营造实践与理论研究氛围的价值，具有提高教师素质的功能价值，具有为学校进行教研活动提供活动模式的价值。这些价值的总和就是教育质量的提高，因此，说课活动的开展，必将对提高教育教学质量作出不可抵估的贡献。第一节 中学数学说课理论
一、说课的含义
所谓“说课”，就是授课教师在独立备课的基础上，系统地谈自己的教学设想及理论依据，以达到相互交流、共同提高的一种教研形式。
狭义的说课是指教师以口头表达的方式，以教育科学理论和教材为依据，针对某节课的具体特点，以教师为对象，在备课和上课之间进行的教学研究活动。
二、说课的特点
简易性与操作性。说课不受时间、空间、人数的限制，又不牵涉到学生，简便易行，能很好地解决教学 与教研，理论与实践相脱节的矛盾。
三、说课与备课的关系
1、相同点：
（1）主要内容相同。说课与备课的教学内容都是相同的。（2）主要任务相同。说课与备课都是课前的准备工作。
（3）主要做法相同。说课与备课都要学习大纲，吃透教材，了解学生，选择教法，设计教学过程。
2、不同点：
（1）概念内涵不同。说课是属于教研活动，要比备课研究问题更深入。而备课是教学任务如何完成的方法步骤，是知识结构如何转化为学生认知结构的实施方案，属于教学活动。
（2）对象不同。备课是要把结果展示给学生，即面对学生去上课。而说课是对其他教师，说明自己为什么要这样备课。（3）目的不同。说课是帮助教师认识备课规律，提高备课能力；而备课是面向学生为目的，它促使教师搞好教学设计，优化教学过程，提高课堂效益。
（4）活动形式不同。说课是一种集体进行的动态的教学备课活动；而备课是教师个体进行的静态的教学活动。
（5）基本要求不同。说课教师不仅要说出每一具体内容的教学设计，做什么。怎么做，而且
还要说出为什么要这样做。即说出设计的依据是什么。而备课的特点是在于实用，强调
教学活动的安排，只需要写出做什么，怎么做就行了。
四、说课与上课的关系
1、共同点
说课是对课堂教学方案的探究说明，上课是对教学方案的课堂实施，两者都围绕着同一个教学课题，从中都可以展示教师的课堂教学操作艺术，都能反映教师语言、教态、板书等教学基本功。
一般来说，从教师说课的表现可以预见教师上课的神情。从说课的成功，可以预见其上课的成功。说好课可为上好课服务。
因为说课说出了教学方案设计及其理论依据，使上课更具有科学性、针对性，避免了盲目性、随意性。而上课实践经验的积累，又为提高说课水平奠定了基础。这些反映了说课与上课的共性和联系。
2、不同点
1)目的不同:说课提高教师知识水平与教学能力；讲课全面提高学生整体素质。2)形式不同:说课执教者以教师为对象，是面对教师的一项单边活动；讲课执教者以学生为对象，是面对学生的一种双边活动。
3)要求不同:上课主要解决教什么，怎么教的问题；说课则不仅解决教什么，怎么教的问题，而且还要说出“为什么这样教”的问题。
五、说课的主要内容
（一）说教材（也叫教材分析）
1、说清楚教学内容所属版本、学段、第几册、第几课、其主要内容是什么？
2、说清楚教学内容的地位与作用。
①教学内容在整个知识系统中所占的地位，有何作用。
②学生在学习该部分内容后对今后的学习有何影响。
3、根据教学内容和课程标准的要求，制定好本节课的教学目标。
根据当前形势有如下三个方面的教学目标：
①知识与技能目标；
②过程与方法目标；
③情感态度价值观目标。
4、根据教学内容和教学目标确定好教学重点、教学难点和关键点。
教学重点：一般为达到教学目标的主要教学内容。
教学难点：可以从下三个方面来考虑：
①教学内容本身的情况；
②教师感到不好教的地方；
③学生难以理解的地方。
关键点：为突出重点，突破难点，教师往往会从知识点的妥善安排，或教学手 19 段的巧妙设置。这些安排或设置就是教学的关键点，也是教学过程中的闪光点。
（二）说学情（也叫学情分析）
主要应讲清楚学生的基本情况，如班额的大小、是城市还是农村学生、男女比例如何、是否重点班、学生的原有基础如何、学生对学好本学科是否有兴趣等情况，做一个简要分析。
（三）说教学过程（也叫过程分析）
为完成教学任务，一般把课堂教学过程大致分为五个环节。即“新课导入、探究新识、纳入系统、巩固提高、拓展创新”来开展教学。其总体要求为：
1)各教学环节应以知识为载体，设计好有效的师生活动，以师生活动贯穿课堂教学过程的始终；
2)每个师生活动都应有恰到好处的教学活动形式，各教学活动形式尽可能不要重复；
3)各教学法活动形式都要有具体的教学措施作保障； 4)每个师生活动都必须有明确的目的（与教学目标有关）； 5)说清楚课后作业的布置及设计意图；
（四）说课堂调控（也叫评价分析）
因课堂教学是师生双方面的交流，其过程不可能与事先设计好的教案完全相同，往往会出现很多意想不到的情况，而出最多的有两情况：
1)在师生活动期间，往往是启而不发，究其原因可能是问题太难，或学生一时无法理解，还有的就是学生没有进入学习状态；
2)活动刚开始，学生就知到了最后的结果，其原因可能是学生有过自学，或学生的理解水平较高所至。
这两种情况的出现，都要求教师在事前做好充分的准备。一旦出现这些情况，要采取有效措施，妥善处理。
至于出其它一些情况，就需要教师随机应变，一切应以学生为重。该部分的撰写要针对具体的师生活动来设计调控措施。
五、说课的主要内容
第二节 中学数学说课实践
●中学数学说课稿模板（详见WORD文稿）
●中学数学说课讲稿模板（详见WORD文稿）
●初中数学说课示范稿（详见WORD文稿）
●高中数学说课示范稿（详见WORD文稿）
第四章 初等数学思想方法
数学思想方法，是指人们从事数学活动的程序、途径，是实施数学思想的技术手段，也是数学思想的具体化反映运用数学思想方法解决问题的过程，就是感性认识不断积累的过程。
当这种积累达到一定程度时就会产生质的飞跃，从而上升为数学思想。
数学思想是内隐的，而数学思想的方法是外显的，数学思想比数学思想的方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间的内在联系，是数学思想方法的进一步概括和升华，它对数学思想方法起指导和调控作用。
数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。
●常用的数学方法：配方法，换元法，消元法，待定系数法；
●常用的数学思想：数形结合思想，方程与函数思想，建模思想，分类讨论思想和
化归与转化思想等。
●数学思想方法主要来源于：观察与实验，概括与抽象，类比，归纳和演绎等。
一、初中数学中蕴含的数学思想方法
● 算术的主要内容:自然数、分数和小数的性质与运算；
● 古老的算术问题:行程问题、工程问题、流水问题、分配问题和盈亏问题。● 算术运算的局限:限于对具体、已知的数进行运算，不允许抽象的数和未知的数
参加运算。
1、字母代数思想
● 算术解法的关键
正确地列出算式——通过加减乘除等运算符号把有关的已知数据连结起 来，建立起能够反映实际问题本质特征的数学模型。
● 算术解法的难点
难于解决复杂问题——对于含有几个或多个未知数的实际问题，要建立 起已知数的算式来求解，则常常是不可能的。
● 算术思维的特点
正难则反——逆向思维。
2、化归的思想方法
1)化归方法的主要途径
陌生问题熟悉化、复杂问题简单化、一般问题特殊化、分散条件集中化、正难则反法。
2)化归思想方法的应用
3)中学数学处处都体现出化归的思想
如：化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决
问题的一种最基本的思想。
4)在具体内容上，有加法与减法的转化，乘法与除法的转化，乘方与开方的转化，以及添加辅助线，增设辅助元等等都是实现转化的具体手段。
化归的思想方法示意图 化归思想在解题中的应用化归思想方法的教学要求
1)要让学生认识到，常用的很多数学方法实质上就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的。
2)要结合具体教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。
3)在具体教学过程中设出问题让学生去观察，探索转化的路子。
例如：在求解分式方程时，运用化归的方法，将分式方程转化为整式方程，进而求得分式方程的解。
又如：求解二元一次方程组时的“消元”，解一元二次方程时的“降次”都
是化归的具体体现。
3、数形结合思想方法
●定义：把问题的数量关系与空间形式结合起来考虑，或者把数量关系转化为图形的性质问题，或者把图形的性质转化为数量关系问题，这种处理问题的思想与方法叫数形结合思想。
●含义：数形结合就是将抽象的数学语言、符号，与其所反映的（可能是隐含的）图形有机的结合起来，从而促进抽象思想与形象思维的有机结合，通过对直观图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得以解决。
●载体：数形结合的载体是数轴，依据数轴反映出数与点的对应关系，是学生学习数学的一大飞跃。
●作用：使学生从不同的侧面理解问题，加深对问题的认识，提供解决问题的方法，有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
◆运用数形结合的思想方法思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何直观，也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。
◆通过数形结合的数学思想方法来学习相反数，绝对值的定义，有理数大小比较的法则，函数等，可以大大减轻学生学习这些知识的难度，数形结合思想的教学应贯穿于整个数
学教学的始终。
4、分类思想方法
“分类”源于生活，存在于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它始终贯穿于整个数学教学中。
从整体布局上看，中学数学分代数、几何两大类，采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现；
从具体内容上看，初中数学中实数的分类，式的分类，三角形的分类，方程的分类，函数的分类等等，也是分类思想的具体体现。
对学习内容进行分类，降低了学习难度，增强了学习的针对性，在教学需要启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。
5、函数思想方法
函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映。它的本质是变量之间的对应。
辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。函数思想泛指利用函数知识分析、解决问题的基本思想方法，是一种考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻划另一种状态过渡到研究变化过程的思想方法，是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括。
函数思想的实质是运用运动变化、相互联系、相互制约的观点去处理有关的数学问题。
函数思想包括变数思想，对应思想，在初中阶段涉及方程、不等式、数列等领域。
变量思想是函数的基础，对应思想是函数的本质，方程、不等式、数列等是函数思想的具体应用。
函数思想既是一种认识问题时观念上的指导，又是一种处理问题时策略上的选择。
初中代数中的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数虽然安排在初三学习，但函数思想从初一就已经开始渗透。这就要求教师在教学上要有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养。
二、高中数学中蕴含的数学思想方法
1、函数思想
（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用；
（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。
2、数形结合思想
（1）数形结合思想方法在三角函数中的应用
数形结合思想方法在三角函数中应用，既可以用单位圆，又可巧妙构造图形，使问题通俗易懂，回味无穷。
（2）数形结合思想方法在向量中的应用
向量的有关问题本来就与图形不可分，但对于某些问题，建立适当的坐标系，利用向量坐标运算法则，“以数助形”思想清晰，便于解决许多问题。
3、分类思想
（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。
（2）从具体出发，选取适当的分类标准。
（3）划分只是手段，分类研究才是目的。
（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。
（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。
4、一般与特殊思想
高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论；
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。
（4）构造特殊函数，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。从特殊到一般和从一般到特殊
----人们正确认识客观事物的认识规律（哲学）；----处理数学问题的重要思想方法（数学）。特殊化与一般化的思想方法
在数学研究和数学学习中，既可以抽去待解问题的某个特殊情形，又可以通过对一般情形的研究而得出某个特殊问题的结论，这就是特殊化与一般化的思想方法。特殊和一般的辩证关系 1．“特殊”包含“一般” 2．“一般”概括“特殊” 特殊化
1．特例（古老而有名的难题）：
两个人在一张圆桌上相继轮流平放一枚同样大小的硬币，游戏规定；硬币不能重叠放置，在桌上放下最后一枚硬币者为游戏的胜利者，设两人都是能手，试问是先放者胜，还是后放者胜？
解法：假若桌子小到只能放下一枚硬币，那么当然是先放者取胜。在一般情况下，先放的人可以把第一枚硬币占据桌子中心，由于桌面呈中心对称，因此，如果以后不论对方把硬币放于何处，先总把硬币放在对手所放硬币位置的对称点，这样，先放者一定取胜。（J.Mason梅森）一般化 2．意义
（1）一般化也是一种重要的数学思想；
（2）在数学发展史上许多理论都经历了从特殊到一般的发展过程.（3）在数学学习和数学问题的解决过程中一般化也有着其独特的作用.实际上，对很多问题从一般化入手更容易得到解决。
这时因为，数学上有不少问题属于规范问题，已经有了固定的解法和固定的程序，当所给问题能用一般化方法归结为这种规范问题时，这个问题就得到了解决；另一方面，孤立的考察问题，往往难以发现解决的途径，而把问题一般化处理后，则便于从普遍的联系中发现规律和解决途径，从而使问题得以解决。
5、有限与无限思想
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。
（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。
6、必然与或然思想
（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然。
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
三、中学数学思想方法教学的基本要求
数学思想方法是隐性的、本质的知识内容，教师必须深入钻研教材，充分挖掘 24 有关思想方法。
有理数乘法法则的讲述，在新教材中充分运用了数形结合和归纳推理的方法，较旧教材中注重由一般到特殊的演绎推理降低了难度，而又不失科学性，教师可给学生同时介绍这两种基本而又常用的思想方法。
在进行教学时，一般可从前面我们对数学特殊及中学数学内容分析的数学思想方法中考虑，应渗透、介绍或强调哪些数学思想，要求学生在什么层次上把握数学方法，是了解、理解、掌握还是灵活运用，然后进行合理的教学设计，从教学目标的确定、问题的提出、情景的创设到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，做到有意识、有目的地进行数学思想方法的教学。
在知识形成阶段，可选用观察、实验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法，字母代数的思想方法，函数思想方法，方程的思想方法，统计的思想方法等。
在知识结论推导阶段和解题教学中，可选择用分类讨论、化归、等价转换、特殊化与一般化、归纳、类比等思想方法。在知识总结性阶段可采用公理化、结构化等思想方法。
四、数学思想方法教学的基本途径
1、用数学思想方法揭示概念的本质，培养学生准确理解概念的能力。
在数学概念教学中，要了解中下等学生原有的数学基础，针对他们缺乏一定的数学感性认识的特点，用数学思想与数学方法去揭示概念的本质，让学生理解概念的内涵和外延；还要让学生尽可能参与并弄清概念产生的思维过程。
例如：讲有理数加法的法则时，你可以通过观察、比较已有的各种算式，猜想并尝试归纳出有理数加法的法则吗(观察、分析、比较、归纳)?
2、用数学思想方法沟通数学知识点，培养学生类比联想和迁移知识的能力。
数学知识之间有着十分密切的联系，每个知识点也只有在与其他知识点关联的过程中才能被理解和运用，然而数学知识的相互关联并不都能明显地叙述出来，而往往隐含在问题之中，需要教师去研究和挖掘，这种挖掘，主要是用数学思想方法沟通知识点之间的内在联系，让学生明确问题的不同形式中所含有的共同特征。
例如：一次函数表达式y=kx＋b。与它的图像之间的内在联系，让学生认识到代数表达式y=kx＋b的几何图形是一条直线；
反之，一条直线通过建立直角坐标系及直线上点的坐标可以表示成代数表达式y=kx＋b。既通过“数”可以说明直线的变化趋势，也可以通过“形”来说明数的大小变化规律。
这种“数”与“形”的内在联系一旦被学生所掌握，就可以帮助学生认识问题的实质，而且能使他们在运用中产生联想，获得迁移知识的途径。
一些数学问题从其本身的意义上去考虑，往往难以解决，而根据它的特征变化成另外一种与它等价但又完全不同的知识去研究却容易突破。
这种问题的特征变化就是所谓的变通数学问题，这种变通是培养学生具有良好的运用数学知识意识的有效途径。
教师在教学中要注重渗透数学思想方法，变通数学问题中的隐含联系，让学生在问题变通中学会转化思想的运用。
数学教材中研究的问题大多数是一些基本问题。为贯彻因材施教的原则，教师 25 往往将问题的形式进行某种变换，即我们通常所说的“变式训练”，用以培养学生的发散性思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。
问题的变式，能使学生打破思维定势，提高思维品质。进行“一题多解”训练，让学生放开思路，对问题提出多种设想和多种解题途径，既要考虑用不同的知识去求解，又要打破代数、几何的界限，纵贯整个中学数学，融会各种不同的数学思想，探求殊途同归的方法。这既可开拓解题思路，又可使整个数学融为一体，从而培养学生探索与创新的能力。
知识的发生过程，公式、定理等的探索发现过程，都蕴涵着丰富的数学思想与数学方法。充分揭示知识的发生过程，不仅是知识形成的必要前提和准备，而且能提高学生发现问题和解决问题的能力，培养创造性思维能力，全面提高学生素质。
现行教材往往看不到概念的形成过程，看不到思维过程，只看到完美的结论，至于它们是如何发现的，解决问题的方法是如何构想的，对学生来说有一种说不出的神秘感。
在教学过程中，教师应深钻教材，重新组织教学内容，从学生已有和数学知识结构出发将数学知识和方法的产生、形成过程充分暴露给学生，为学生创设问题情境，教给学生发现与创造的方法。
①注重解题思路的数学思想方法分析。如解分式方程 利用变形换元求解等。
②增强解题过程的数学思想方法指导。解题的思维过程都离不开数学思想的指导，可以说数学思想指导是开通解题途径的金钥匙。
③提倡解题以后的数学思想方法的反思。反思可以使经验升华和理性化并产生认识上的飞跃。在解题过程中缺乏数学思想角度的反思，则解同类题的多与少没有质的区别。因此养成反思习惯，特别从数学思想上进行提炼和反思，这对提同数学能力有帮助。
概括数学思想方法可以从某个概念、定理、公式和问题教学中纵横归纳，也可以通过课堂小结，单元总结和总复习进行升华和概括。
数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是数学问题的本质反映，追求的是“授人以渔”，让学生掌握学习数学的“金钥匙”，是数学发展的杠杆，在课堂教学中渗透数学思想方法，不仅能使学生理解问题的本质，可以帮助学生通过数学思想方法的迁移去认识教材以外的数学问题的本质特征，促使他们逐渐拥有必备的数学素质。第五章 初等代数典型解题方法
主要内容
① 主元法 ② 集合法
③ 整体思维法 ④ 抽屉原则法 ⑤ 特殊化法
⑥ 构造法 ⑦ 不等式 第一节 主元法
当一个数学问题中含有多个变元时，我们可以选择某个（或某两个）变元作为主变元（简称主元），其它变元作为辅变元（或看作常数），从而把多元问题转化为一元问题，然后，利用处理一元问题的方法去解题，这种解决数学问题的思想方法叫做主元法。
依据： 主元法是化归思想在数学解题中的一种应用。
实质：主元法实质是把多元问题转化为一元问题，把较复杂的数学问题转化为简单的数学问题。
应用：主元法在恒等式证明、因式分解、求值、解方程或解方程组、解不等式、证明不等式方面都有广泛的应用。
例1：证明等式；2．因式分解；3．解方程；4．化简与求值；5．求参数的取值集合；6．证明不等式 第二节 集合法
一、集合法
集合论—现代数学的基础。
集合思想—渗透到数学的各个分支。
集合基础知识—在初等代数中有着广泛的应用
集合法——综合用集合知识去分析、解决数学问题的思想方法。
——初等数学的一种重要思想方法。
作用：许多代数问题，看上去似乎与集合知识无关，但是若用集合法去处理，就会思路清晰、解法简捷。第三节 整体思维法
一、整体思维法的意义
1．定义：所谓整体思维法就是从整体上去观察、分析和处理问题的思维方法。2．特征：
（1）从整体上观察事物——从全局上观察事物的特征；
（2）从整体上研究问题——分析事物整体与局部的关系；
（3）从整体上揭示本质——揭示事物的总体本质；
（4）从整体上制定策略——着眼于制定解决问题的整体策略。
二、整体思维法的解题策略
1．整体代入； 2．整体联想； 3．整体处理； 4．整体构造
三、整体思维法的解题关键
——在于处理数学问题时要有整体思维意识。
四、整体思维法的教学目标
（1）强化整体思维意识的培养，（2）增进学生的创新能力。
五、应用举例
在初等代数中，用整体思维法分析和解决问题通常有下列几种策略：
1．整体代入 2．整体联想 3．整体处理 4．整体构造
在分析问题、寻找问题的解法时，要使自己的思维展开联想，联想与之有关的其它问题。
由一个解析式，联想到它可能是某个整体的一部分，它与另一个解析式构成这个整体，从它们之间的联系便可发现解题的突破口。第四节 抽屉原则法——用抽屉原则解决问题的方法
一、抽屉原则 注: 1.这里的原则1是原则2的特例。
2.符号[x]表示不超过实数x的最大整数即[x]表示取整。
3.每一个原则的结论中的“必有一个”都可以改为“至少有一个”;4.这些抽屉原则都可用反证法证明。
5.适用范围：抽屉原则仅适用于解证“至少有”（或必有）这一类存在而不确定的命题。
6.主要作用（在数学中有极其微妙的应用）
肯定物体在抽屉中的“存在”、“总有”、“至少有”，而不能确切指明在哪个抽屉存在、总有、至少有。
7．解题难点：如何设计合适的“抽屉”。8．解题步骤
（1）确定制造抽屉的方法；（2）找出放入抽屉东西的个数；（3）运用抽屉原则验证。
二、抽屉原则应用
1.难点—如何设计合适的“抽屉”。2.关键—由问题的特点而设定抽屉。3.方法—常用的几种解题方法。
（1）等分区间作抽屉
（2）等分几何图形作抽屉（3）用整数性质作抽屉
当问题与整数的性质有关时，我们可以用整数的性质，把题目中的数设计成一些抽屉，然后用抽屉原则去解。4．多次顺向应用抽屉原则 5．逆向运用抽屉原则
