年9月1日每日一题_五上每日一题9月

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2013 年9月1日每日一题

设M{a|axy，x，yZ}．

(1)属于M的两个整数，其积是否仍属于M，为什么？(2)8、9、10是否属于M，请说明理由．

难度：中等

考察知识点：集合的元素特征、简单数论解析 ：

y1，x2，y2Z)，y2(1)设a，(x1，bM，则ax12y12，bx2

ab(x12y12)(x2y2)(x1x2y1y2)2(x1y2x2y1)2，22

x1，y1，x2，y2Z，x1x2y1y2Z且x1y2x2y1Z，从而abM，即属于M的两个整数，其积仍属于M．

930，8M，9M．(2)831，假设10M，则存在整数m，n，使10m2n2，即(mn)(mn)10，由于10为偶数，注意到mn与mn具有相同的奇偶性，所以mn、mn均为偶数，其乘积

2222

(mn)(mn)应是4的整数倍，但10不是4的整数倍，导致矛盾，故假设不成立，即

10M．

分析与建议：

集合的元素特性与简单数论结合在一起，已经慢慢成为很多考试常考的一种题型。此类题常以较难的选择、填空和解答题出现。

很多同学可能对数论“漠不关心”，觉得离高考很远。但其实高考题中经常有那么几道会与数论相关知识挂钩，只不过高考中的数论其实考察面比较窄，基本限定在一些简单的，我们小学或者初中学过的有关“数的性质”的基础之上，比如此题中就用到了比较简单的奇偶分析。所以，偶尔回顾一下有关数的一些性质会对做这样的题很有好处。

另外对于此题的两问设置，一般我们这么来解答：

1．要证明 x0M，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式． 2．要证明x0M，通常用反证法．

实际上，本题还可得到进一步的结果：对任意nZ，4n，4n1，4n3均为M中的元素，而4n2不是M中的元素．