西安工业大学期末考试题(A卷)_西安工业大学期末试卷

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西安工业大学2012-2013学年年第2学期期末考试试题

高等数学AII考试试题（A卷）

时间：120分钟满分：100分考试时间：2013.7.8

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

1.在空间直角坐标系中，xyR表示()。

A.圆B.圆域C.球面D.圆柱面

2.微分方程y3y2y(x1)e的特解形式为()

A.(AxB)eB.x(AxB)eC.x(AxB)eD.(x1)e

3.关于f(x,y)在P0(x0,y0)点处有关性质的描述，错误的是()。

A.可微则函数连续。B.偏导数连续则可微。

C.任意方向方向导数存在则偏导数存在。D.可微则任意方向方向导数存在。

4.二元函数z4(xy)xy的极值点是()。

A.(2,2)B.(2,2)C.(2,2)D.(2,2)

5.设D{(x,y)|xya,a0}，则由几何意义知22222xx2xxx222D a2x2y2d()。

A.aB.aC.aD.a

6.以下常数项级数中，绝对收敛的是()。A.1332333433(1)

n1

n11n1n1B.(1)lnnnn11nn1C.2sinD.(1)(n1n)4n1nn

1二、填空题（每小题4分，共24分）

1.已知向量{1,2,2}与{2,3,}垂直，则________。

2.已知函数f(x,y,z)xyz，在点P(1,1,2)处方向导数的最大值为。

3.曲面:ezxy3在点(2,1,0)处的切平面方程为________。z

24.交换积分次序后，dxf(x,y)dy________。

x2

5.设为半球面xyza(z0)，则





x2y2z2dS__________。

6.如果幂级数

a

n1



n

在x21处收敛，则其收敛域为________。(x1)n在x13处发散，三、计算题（每小题6分，共24分）

dzxyz0

1.设2，求.22

xyz1dx

2.设zfx,y是由方程x

试求

3.设平面曲线L是y2x1在0,3上的一段弧，求曲线积分

4.计算曲线积分I

zx

2y23z2xyz0所确定的隐函数，.(2,1,1)



L

(x2y)ds.(2xy4)dx(3x5y6)dy，其中L是由曲线

L

yx2及直线y1所围成闭区域D的正向边界.y2

1}上的最大值

四、求函数f(x,y)xy2在椭圆域D{(x,y)|x

4和最小值。（试运用拉格朗日乘数法）。（8分）

五、计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy，其中是由锥面z



x2y2与半

球面zxy所围成的空间闭区域的整个边界的内侧。（8分）

dex1

()展开成关于x的幂级数。

六、将函数f(x)（8分）dxx

七、设函数f(x)在(,)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y0)内的有

向分段光滑曲线，其起点为(1,3)，终点为(3,1)。

1x

记I[yf(xy)]dx[xf(xy)2]dy

Lyy

（1）证明曲线积分I与路径无关。（2）求I的值。（10分）

2013高等数学AII试题（A卷）参考答案及评分标准

一、单项选择题

（1）D ；（2）B ；（3）C ；（4）A ；（5）B ；（6）C.二、填空题

（1）2 ；（2）

21；（3）x2y40；（4）



y

dy0

f(x,y)dx；（5）2a3

；（6）[1,3).三、1.解：每个方程两端同时对x求导得如下方程组，1dydz0dxdx，……..………………………………………4分dydz



xydxzdx0

求解该方程组可得

dzxy

dx

yz

.………………………………………..6分 2.解：记F(x,y,z)x2

2y2

3z2

xyz

由于Fx2xy，Fy4yx，Fz6z1，……..……………3分 则

zxFx2xyF1 …….…………………………………………… 5分 y6z所以

z3

x



(2,1,1)

… …….…………………………………………..6分3.解：由于y2x1，则ds(y)2

dx

5dx…… …… …….2分

所以：



L

(x2y)ds

3(x22x1)5dx215……………..6分

4.解：记 P(x,y)2xy4,Q(x,y)3x5y6，显然，该曲线积分满足格林公式成立的条件…… … …… …….2分则 I

L

(2xy4)dx(3x5y6)dy4d ……..………4分

D

41dx11

1

x

2dy41

1x2

dx

……..……………………6分

四、解：先求f(x,y)椭圆域内部的驻点

fx(x,y)2x0

fy

(x,y)2y0，得驻点(0,0)……..…………………2分

再求f(x,y)在椭圆边界上可能的极值点

L(x,y)x2

y2

2(x2

y2

设4

1)…….……………………….4分

Lx(x,y)2x2x0.........(1)令Ly

(x,y)2y2y0......(2)2

2y

x410........(3)由（1）式（2）式（3）式，解得4个可能的极值点，分别为

(1,0)，(1,0)，(0,2)，(0,2)… …….……………………………7分

比较f(0,0)2，f(1,0)f(1,0)3，f(0,2)f(0,2)2 可得知f(x,y)在D上的最大值为3，最小值为-2。…….……………..8分

五、解：显然该题满足高斯公式的条件.… …… …… …… …… ………1分

由高斯公式可得

xdydzydzdxzdxdy3dv…….4分





（利用球面坐标计算）3



2





4d0

d

1r2sindr………….6分

(22)…………………………..8分

（或利用柱面坐标计算）3



2

d

d

2



dz ………….6分

6



d(22) ….8分

六、解：因为 ex

1x

x2x3xn

2!3!n!

(xR)…… ……..3分所以

ex1xx2xn1

x12!3!n!

(x0)…… …….5分

两边逐项求导得：



dex1xn1(n1)xn2

f(x)()()(x0)…..8分

dxxn!n1n!n

1七、证明：（1）因为

11x

[yf(xy)]f(xy)xyf(xy)2[xf(xy)2] …..4分 yyyxy

在上半平面内处处成立，所以在上半平面(y0)内，曲线积分I与路径无关………..5分(2)由于I与路径无关，故可取积分路径L为：

由点(1,3)沿直线到点(3,3)，再由点(3,3)沿直线到(3,1)…… …… …… ……..………6分 所以：I

3

1[133f(3x)]dx13

[3f(3y)3y2]dy…… …… …… ……..…………..8分 

233

3f(3x)dx133f(3y)dy2

9388

3f(t)dt9f(t)dt33

……….……….……….……….……….10分