同济大学第六版高等数学课后答案12_同济高等数学课后答案

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习题12

1 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势 写出它们的极限

(1)xn1n2

10解 当n时 xn10 limn2n2n

(2)xn(1)n1 n

解 当n时 xn(1)n10 lim(1)n10 nnn

(3)xn21 n2

1)2解 当n时 xn212 lim(2nn2n2

(4)xnn1n1

解 当n时 xnn1120 limn11 nn1n1n1

(5)xnn(1)n

解 当n时 xnn(1)n没有极限

cos 问limx? 求出N 使当nN时 x与2 设数列{xn}的一般项xnnnnn

其极限之差的绝对值小于正数  当 0001时 求出数N解 limxn0 n

||co1  0 要使|x0|  只要1 也就是n1 取|xn0| nnnnN[1则nN 有|xn0| 

当 0001时 N[1]1000 

3 根据数列极限的定义证明

(1)lim10 nn2

1 只须n21 即n1分析 要使|10|nn110证明 因为0 N[] 当nN时 有|1 所以0|limnn2n2(2)lim3n13 n2n12

分析 要使|3n13|11 只须1 即n12n122(2n1)4n44n

证明 因为0 N[1] 当nN时 有|3n13| 所以lim3n13n2n122n12422(3)lima1nn

2222222anananaa分析 要使|1| 只须n22nnn(nan)n

22a2]naN[证明 因为0  当nN时 有|1| 所以n

22alim1nn

(4)lim0.999    91 nn个

1  即1分析 要使|099    91|1 只须n1lg10n110n1

证明 因为0 N[1lg1] 当nN时 有|099    91|  所以

n

n个

nlim0.999    914 limuna 证明lim|un||a| 并举例说明 如果数列{|xn|}有极限 但数列n

{xn}未必有极限

证明 因为limuna 所以0 NN 当nN时 有|una| 从而 n

||un||a|||una| 

这就证明了lim|un||a|n

数列{|xn|}有极限 但数列{xn}未必有极限 例如lim|(1)n|1 但lim(1)n不nn存在

5 设数列{xn}有界 又limyn0 证明 limxnyn0nn

证明 因为数列{xn}有界 所以存在M 使nZ 有|xn|M又limyn0 所以0 NN 当nN时 有|yn| 从而当nN时 有 nM

|xnyn0||xnyn|M|yn|MM

所以limxnyn0 n

6 对于数列{xn} 若x2k1a(k) x2k a(k )证明 xna(n)

证明 因为x2k1a(k) x2k a(k ) 所以0K1 当2k12K11时 有| x2k1a| K2 当2k2K2时 有|x2ka| 取Nmax{2K11 2K2} 只要nN 就有|xna| 因此xna(n)