高考必考问题9 等差、等比数列的基本问题_等差等比数列知识梳理

高考必考问题9 等差、等比数列的基本问题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“等差等比数列知识梳理”。

必考问题9 等差、等比数列的基本问题

1．(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()．

A．58B．88C．143D．176

2．(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()．

A．7B．5C．－5D．－7

3．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()．

A．1B．2C．3D．

44．(2012·浙江)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.3答案

1、B2、D3、B

42本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，各省市的要求不太一样，有的考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大．

(1)深刻理解两种数列的基本概念和性质，熟练掌握常用的方法和技能；掌握等差数列

和等比数列的判定、证明方法，这类问题经常出现在以递推数列为背景的试题的第(1)问中．

(2)熟练掌握等差数列和等比数列的性质，并会灵活应用，这是迅速、准确地进行计算的关键

.必备知识

等差数列的有关公式与性质

na1＋annn－1＝na1＋d.2

2(4)2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；

②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；

③等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„成等差数列． 等比数列的有关公式与性质

an＋1a11－qna1－anq*n－1(1)q(n∈N，q为非零常数)．(2)an＝a1q.(3)Sn＝(q≠1)． an1－q1－q

*(4)a2n＝an－1an＋1(n∈N，n≥2)．

－(5)①an＝amqnm；②若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；

③等比数列{an}(公比q≠－1)的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„也成等比数列．

必备方法

1．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．

2．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题．

3．等差、等比数列的判定与证明方法：

an＋1(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}＝q(q为非零常数)⇔{an}是等an

比数列；

(2)利用中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；a2an＋2(n∈N*)⇔{an}n＋1＝an·(1)an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)an＝a1＋(n－1)d.(3)Sn＝

是等比数列(注意等比数列的an≠0，q≠0)；

(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列；an＝cqn(c，q为非零常数)

⇔{an}是等比数列；

(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列；Sn＝mqn－m(m为常

数，q≠0)⇔{an}是等比数列；

(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可．

等差比数列的基本运算

等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等．

【例1】►(2011·江西)已知两个等比数列{an}、{bn}满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a

2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．

1－－（1）{an}的通项公式为an＝(2＋2)n1或an＝(22)n1.（2）a＝.3关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造

关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．

【突破训练1】(2011·广东改编)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝(A)．

A．10B．12C．15D．20

等差、等比数列的判断与证明

高考对该内容的考查主要是等差、等比数列的定义，常与递推数列相结合考查．常作为

数列解答题的第一问，为求数列的通项公式做准备，属于中档题．

【例2】► 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

－(2)求数列{an}的通项公式．an＝(3n－1)·2n

2.判断一个数列是等差数列或等比数列的首选方法是根据定义去判断，其次是

由等差中项或等比中项的性质去判断．

【突破训练2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.a(1)设bn＝－.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.Sn＝(n－1)2n＋2

1.等差数列与等比数列的综合应用

从近几年的考题看，对于等差与等比数列的综合考查也频频出现．考查的目的在于测试

考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．

【例3】►(2012·石家庄二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S1、2S2、3S

3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；an2()

13n1(2)数列{bn－an}是首项为－6，公

1差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和．－－＋n2－7n＋

3.3

(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错

公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．

【突破训练3】 数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比

数列，且a1＝3，b1＝1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2＝64.1113－(1)求an，bn；an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n1.(2)求证：＜.S1S2Sn

4递推数列及其应用

递推数列问题一直是高考命题的特点，递推数列在求数列的通项、求和及其它应用中往往起至关重要的纽带作用，是解决后面问题的基础和台阶，此类题目需根据不同的题设条件，抓住数列递推关系式的特点，选择恰当的求解方法．

【示例】►(2011·湖北)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n*∈N，r∈R，r≠－1)．(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．

[满分解答](1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减，得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1.(2分)

又a2＝ra1＝ra，所以，当r＝0时，数列{an}为：a,0，„，0，„；(3分)

当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，an＋2于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得r＋1(n∈N*)，an＋

1∴a2，a3，„，an，„成等比数列，－∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n2a.(5分)

a，n＝1，综上，数列{an}的通项公式为an＝(6分)n－2rr＋1a，a≥2.

(2)对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，证明如下：

a，n＝1，当r＝0时，由(1)知，an＝ 0，n≥2.

∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．(8分)

当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1，若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.(10分)

由(1)知，a2，a3，„，am，„的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列．(12分)

综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．(13分)

老师叮咛：本题是以an和Sn为先导的综合问题，主要考查等差、等比数列的基础知识以及处理递推关系式的一般方法．失分的原因有：第(1)问中漏掉r＝0的情况，导致结论写

－为an＝r(r＋1)n2a；第(2)问中有的考生也漏掉r＝0的情况，很多考生不知将Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk

转化为ak＋1与ak＋2的关系式，从而证明受阻．

【试一试】(2012·四川)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求a1，a2的值；(2)设a1＞0，数列{lg10a1的前n项和为Tn.当n为何值时，Tnan

最大？并求出Tn的最大值．

解(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①

取n＝2，得a22＝2a1＋2a2，②

由②－①，得a2(a2－a1)＝a2，③

(i)若a2＝0，由①知a1＝0，(ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④

由①、④解得，a1＝2＋1，a2＝22；或a1＝12，a2＝2－2.综上可知a1＝0，a2＝0；或a12＋1，a2＝＋2；或a1＝1－2，a2＝22.(2)当a1＞0时，由(1)知a1＝＋1，a2＋2.当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(22)an－1＝S2＋Sn－1，所以(12)an＝(22)an－1，即an＝2an－1(n≥2)，－－所以an＝a12)n1＝(2＋2)n1.10a11100－令bn＝lg，则bn＝1－lg(2)n1＝1－(n－1)lg 2－ an22

21所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)，2

10从而b1＞b2＞„＞b7＝lg＞lg 1＝0，8

11001当n≥8时，bn≤b8＝0，21282

故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为

7b1＋b771＋1－3lg 221T7＝7－lg 2.222

训练9 等差、等比数列的基本问题

(时间：45分钟 满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．若{an}为等差数列，Sn是前n项和，a1＝1，S3＝9，则该数列的公差d为()．

A．1B．2C．3D．

42．(2012·泰安二模)等比数列{an}中，a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于()．

A．16B．±4C．－4D．4

3．(2012·安徽)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()．

A．4B．5C．6D．7

4．(2012·日照一模)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()．

A．3×44＋1B．3×44C．44D．44＋

12225．在数列{an}中，对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋„＋an＝3n－1，则a1＋a22＋a3＋„＋an等于

11A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1(3n－1)24

二、填空题(每小题5分，共15分)

16．等比数列{an}中，已知a1＋a2＝a3＋a4＝1，则a7＋a8的值为________．

27．(2012·济南二模)在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，且a6－a4＝24，a3a5＝64，则{an}的前6项和是________．

8．将全体正整数排成一个三角形数阵：

3456

78910121314 1

5„„„„„„

根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．

三、解答题(本题共3小题，共35分)

an＋an＋19．(11分)已知数列{an}满足，a1＝1，a2＝2，an＋2＝n∈N*.2

(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．

1110．(12分)(2011·新课标全国)已知等比数列{an}中，a1＝q＝.33

1－an(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn 2

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an，求数列{bn}的通项公式．

11．(12分)(2012·陕西)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．