数列极限的解法(15种)_数列极限的十五种解法

数列极限的解法(15种)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数列极限的十五种解法”。

1.定义法

N定义：设an为数列，a为定数，若对任给的正数，总存在正数N，使得当nN时，有ana，则称数列an收敛于a.记作：limana.否则称ann为发散数列.例1.求证lima1,其中a0.n1n

证：当a1时，结论显然成立.当a1时，记a1，则0，由a11n1n(1)

1a1a1N时，就有an1，即得a1，任给0，则当nn1nn1n1n

a1即lima1, n1n1n

当

1110a1时，令b,则b1,由上易知limbn1,limannna1limbn1n1综上，lima1,a0 n1n

7n

例2.求lim nn!

7n7777777777771解： n!12789n1n7!n6!n

7717n7717n77100,N,则当nN时，有n!06!n

7n

lim0 nn!

2.利用柯西收敛准则

0,正整数N，柯西收敛准则：数列an收敛的充要条件是：使得当n,mN

时，有anam.例3.证明：数列xnsink(n1,2,3,)为收敛数列.kk12n

证

11nm

sin(m1)sinn111)11xnxm(2m12n2m12n2m1112mm

1

0，取N，当nmN时，有xnxm



由柯西收敛准则，数列xn收敛.例4.（有界变差数列收敛定理）若数列xn满足条件xnxnx1xn1xn

2x

1，M(n1,2,)

则称xn为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛 证：令y10,ynxnxn1xn1xn2x2x1

那么yn单调递增，由已知知yn有界，故yn收敛，从而0,正整数

N，使得当nmN时，有 ynym

此即xnxmxnxn1xn1xn2xm1xm 由柯西收敛准则，数列xn收敛.注：柯西收敛准则把N定义中的an与a的关系换成了an与am的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3．运用单调有界定理

单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5.证明数列xnn个根式,a>0,n=1,2,）极限存在，并求

limxn.n

证：由假设知xn（1）用数学归纳法易证：xn1xn,kN 2 此即证xn单调递增.用数学归纳法可证xn1xn，事实上，0xn1

1

由（1）（2）证得xn单调递增有上界，从而limxnl存在，对（1）式两边

n

取极限得

l

解得l

l

limxn

n

4．利用迫敛性准则（即两边夹法）

迫敛性：设数列an,bn都以a为极限，数列cn满足：存在正数N，当n>N时，有ancnbn，则数列cn收敛，且limcna.n

例6.求

12nlim222 nnn1nn2nnn

12n解：记xn222，则

nnnnn1nn2

12n12n

x n

n2nnn2n1



n(n1)n(n1)

x n22

2(n2n)2(nn1)

lim

n(n1)1n(n1)

lim

n2(n22n)2n2(n2n1)

12n1由迫敛性得lim222=2.nnn1nn2nnn

注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.5．利用定积分的定义计算极限 黎曼积分定义：设为fx定义在a,b上的一个函数，J为一个确定的数，若对任给的正数0，总存在某一正数，使得对a,b的任意分割T,以及在其上任

意选取的点集i,ixi1,xi只要T

fxJ

i

i

i1

n

，则称函数fx在a,b上（黎曼）可积，数J为fx在a,b上的定积分，记作

Jfxdx.a

b

例7.limn!nn2n!

n 解：原式=

n1

1n

nn

12n1i

=lim111explimln1

n

nnnni1nn

n

=exp

ln1xdxexp2ln21

2nsinsinsin例8.求lim nn1nn

2n

解：因为

2n2n2nsinsinsinsinsinsinsinsinsinn1n1nnn

2nn

sin



sin

又lim

n

2n

sinlimn1sinsin2sinn

nn1nn1nnn



 

2nsin

12=limsinxdx

nn10

2nsinsinsin2 同理limn1n

n2nsinsinsin2由迫敛性得lim=.nn1nn

2n

注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分

sin

sin



相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。

6．利用（海涅）归结原则求数列极限

归结原则：limfxA对任何xnx0n，有limfxnA

xx0

n

en1

例9.求lim

n1

n

ene0en1x'

ex0解：lim=lim

nn0nn

=1

11

例10.计算lim12

n

nn

111

解：一方面，121en

nnn

11n1

另一方面，1212

nnn

n

n2n

n1n1

n

nn

n112

n

n2

2n1

n2,n2,3,）由归结原则（取xn

n1

n1lim12nn

n2

2n1

n112

n

n

n2

n1

1

lim1e x

x

x

11

由迫敛性得lim12=e

n

nn

注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决.