对叠加定理几点感悟_叠加定理的使用条件

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对叠加定理的几点感悟

一、叠加定理（superposition theorem）的定义 在线性系统或线性电路中，如果有两个或两个以上的激励同时作用，则响应等于诸激励分别单独作用下产生的诸响应分量之和。推论（齐性定理）：在线性电路中，当所有的激励源（电压源和电流源）都同时增大或缩小K倍（K为常数）时，响应（电压源和电流源）也将同样增大或缩小K倍。

二、运用叠加定理的注意点

1、叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。

2、叠加时，电路的联接方式以及电路中的有电阻和受控源都不能变动。电压源不作用以短路代替；电流源不作用以开路代替。

3、叠加时要注意电流和电压的参考方向，即各个电源单独作用时产生的分电流或分电压的参考方向，与电路中全部电源共同作用时对应的电流或电压的参考方向相同时取正号，反之取负号。

4、叠加定理不能用于计算功率。

三、叠加定理的应用

1、电路如图所示，若已知：

(1)uS15V,uS210V(2)uS110V,uS25V(3)uS120cos tV,uS215sin2 t V

试用叠加定理计算电压u。

解：①画出uS1和uS2单独作用的电路，如图(b)和(c)所示，分别求出：

(1)uS15V,uS210V(2)uS110V,uS25V(3)uS120cos( t)V,uS215sin(2 t)V

②根据叠加定理：

uuu'“0.4uS10.2uS2

③代入uS1和uS2数据，分别得到：(1)u0.45V0.210V4V(2)u0.410V0.25V5V(3)u[0.420cos(ωt)0.215sin(2ωt)]V[8cos(ωt)3sin(2ωt)]V

2、用叠加定理求图(a)电路中电压u。

解：画出独立电压源uS和独立电流源iS单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠加定理将u’和u”相加得到电压u u'

R4R2R4'”uS u“R2R4R2R4iS

uuuR4R2R4(uSR2iS)

四、叠加定理与相量法在正弦稳态电路中的运用 不同频率的激励作用时，根据线性电路的叠加定理，我们可以分别计算该电路中的两个电源作用时产生的响应。我们看下面的电路，其中uSiS22cos4t A102cos5t V，由于两个电源的频率不同，就整个电路来说，我们不能直接使用相量法。但是根据叠加定理，我们可以将该线性电路的响应分为两个不同频率点单个电源作用下产生响应的和，因此，我们可以单独对每一个电源作用下的电路使用相量法。在不同频率下，电容与电感对应的阻抗为不同的值，再相量电路绘出之后，就可以按照原来所学的方法计算该电路的响应了。

1 1F + 1H uS _ iS图12-17 不同频率的电源叠加 1-0.2j + 5jo 100 I'o 1-0.25j 4j o 20 I''o-(a)(b)

图（a）是电压源单独作用时的电路，其中的阻抗根据5rad/s计算；图（b）是电流源单独作用时的电路，其中的阻抗根据4rad/s计算； 图（a）中：

'Io1100o5j(0.2j)5j0.2jj55j0.2j250245j10.211.8Ao

图（b）中：

'20oIo4j14j0.25j32154j2.0614.9Ao

所以：

i''o2.06i'o10.22cos(5t11.8)Aoo2cos(4t14.9)A

oo待求量：

2cos(4t14.9)Aioi'oi''o10.22cos(5t11.8)A2.06

五、叠加定理与傅立叶变换在非正弦周期电路的运用

处理非正弦周期信号，如方波、三角波、矩形脉冲等，分析方法通常为：

1、首先应用数学中的傅立叶级数展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和

2、再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量

3、最后，把所有分量按时域形式叠加，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压，这种方法也称谐波分析法。

如果给定的周期函数

f(t)满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有限个极值点与不连续点），则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数。

f(t)a0A0(ak1kcosktbksinkt)k1Akmcos(ktk)

其中，两式中的各个系数的计算公式及对应的系数的关系

a01T0Tf(t)dt1TT2Tf(t)dt2

2TTak2T0Tf(t)cos(kt)dt2Tf(t)cos(kt)dt102f(t)cos(kt)d(t)1f(t)cos(kt)d(t)2bk2T0Tf(t)sin(kt)dt2TT2T2f(t)sin(kt)dt102f(t)sin(kt)d(t)1f(t)sin(kt)d(t)

在该展开式中，A0称为周期函数函数的周期相同的正弦分量A1m

各种常用周期信号的傅立叶展开 方波

f(t)A t 0.5T-A T图12-18(c)矩形波三f(t)的恒定分量，也称为直流分量；与原周期

称为一次谐波，也称为基波分量。其

cos(t1)他各项称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）。

15sin5t17sin7t)f(t)4A(sint13sin3t，其中的2T

三角波

f(t)A t T-A 图12-19 三角波

19sin3t125sin5t149cos7t)f(t)8A2(sint，其中的2T

锯齿波

f(t)A t T 2T 3T图12-20 锯齿波

12sin2t13sin3t14sin4t)，其中2Tf(t)A2A(sint

六、叠加定理小结

通过以上分析可以看出，叠加定理实际上将多电源作用的电路转化成单电源作用的电路，利用单电源作用的电路进行计算显然非常简单。除此之外，叠加定理在信号分析与处理方面也起着基础性作用。