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天津理工大学2011年硕士研究生入学考试大纲
一、考试科目：数学分析（804）
二、考试方式：考试采用笔试方式。考试时间为180分钟，试卷满分为150分。
三、试卷结构与分数比重: 试卷共分为四部分
一、填空题
二、选择题
三、计算题
四、证明题
四、考查的知识范围: 第二章
1、数列的极限。
2、函数的根限。
3、函数的连续性。
4、无穷小与无穷大。基本要求：
（1）掌握极限的定义，会用ε——N，ε—δ语言证明极限存在。（2）会求极限，掌握关于极限的性质。
（3）掌握函数连续的概念，会判断函数的连续性，会判断间断点及类型，熟悉连续函数的运算性质和局部性质。
（4）会比较无穷小的阶，并会使用等价无穷小求极限。（5）熟悉闭区间上连续函数的性质。第三章
实数连续性定理
1、实数连续性的基本定理。
2、闭区间上连续函数性质的证明。基本要求：
（1）熟悉六个实数连续性定理的条件与结论，这六个定理是：单调有界数列必有极限，确界原理，闭区间套定理，有界无穷数列必有收敛子列，有限覆盖定理，cauchy收敛准则。
（2）了解六个定理之间的逻辑关系。（3）掌握函数一致连续的概念。
（4）掌握闭区间上连续函数的性质，并会使用这些性质证明一些较简单的命题。（5）熟悉闭区间上连续函数性质的证明过程。第四章
导数与微分
1、函数导数的定义与求导公式。
2、求导法则：
（1）四则运算法则，（2）复合函数求导法则。（3）隐函数及参数分程表示的函数的求导法则。
3、高阶导数
4、微分及其运算 基本要求
（1）掌握导数，左、右导数的定义，会用左、右导数求导数或证明导数的存在。（2）熟练掌握求导法则，会求导数，包含高阶导数。（3）理解导数与微分之间的关系，会求微分。第五章
微分中值定理及其应用
1、中值定理。
2、泰勒公式。
3、函数的单调性，凸性，极值。
4、L’Hospital法则。基本要求：
（1）掌握三个中值定理特别是拉格朗日中值定理的应用。
（2）熟悉泰勒公式及其余项的两种形式：拉格朗日余项和皮亚诺余项。（3）会利用导数判断函数的单调性，凸性，求拐点。（4）会求函数的极值，最值。（5）会使用L’Hospital法则求极限。第六章
不定积分
1、不定积分的概念与运算法则。
2、不定积分的计算。基本要求：
（1）熟练运用积分公式。
（2）掌握换元积分法，分部积分法。
（3）掌握有理函数积分法，简单有理函数和三角有理式的积分法。第七章
定积分
1、定积分的概念。
2、定积分的可积性质。
3、定积分的性质。
4、定积分的计算。基本要求：
（1）掌握定积分的定义。
（2）会运用定积分的性质，特别是变限函数性质的应用。（3）会计算定积分（N——L公式，换元积分与分部积分等）。第八章
定积分的应用
1、平面图形面积的计算。
2、曲线的孤长。
3、体积的计算：旋转体，截面面积已知。
4、旋转曲面的侧面积。
5、平均值。下册第九章
数项级数
1、数项级数的收敛性和基本性质。
2、正项级数。
3、任意项级数。
4、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。基本要求：
（1）掌握收敛级数的基本性质和Cauchy收敛准则。
（2）掌握一般项级数收敛的以下的判断法：收敛的充要条件，比较判断法，比值判别法，根式判别法，积分判别法，掌握交错级数收敛的判别法，任意级数转化为正项级数的判别法，掌握狄利克莱，阿贝尔判别法。
（4）了解绝对收敛级数，条件收敛级数的性质。第十章
广义积分
1、无穷限的广义积分。
2、无界函数的广义积分。基本要求：
（1）广义积分的计算。
（2）掌握广义积分收敛的判别法。第十一章
函数项级数
1、函数项级数的收敛和一致收敛。
2、幂级数的收敛区间，和函数。
3、将函数展成幂级数。
基本要求：（1）掌握函数项级数的一致收敛性的概念，会判断一致收敛，主要是M——判别法。
（2）掌握一致收敛的函数项级数的三个分析性质：逐项微分、逐项积分、函数的连续性。（3）会求幂级数的收敛半径，收敛区域。（4）会求和函数以及将函数展成幂级数。第十二章Fourier级数
1、函数展成Fourier级数。
2、Fourier级数的收敛性。基本要求：
（1）会求周期为2T的函数的Fourier级数。
（2）会将定义于[O、T]的函数展成正弦级数或余弦级数。（3）掌握函数f（x）的Fourier级数的收敛性定理。第十三章
多元函数的极限与连续
1、平面点集。
2、多元函数的极限。
3、多元函数的连续。基本要求：
（1）熟悉距离，邻域，聚点、内点、开集、闭集、区域的概念。（2）了解平面点集连续性定理。
（3）掌握多元函数极限的概念（主要是二元函数的极限），熟悉重极限与累次极限的关系。（4）熟悉多元函数连续的概念，掌握极限的运算法则，连续函数的局部性质。（5）熟悉有界闭区域连续函数的性质。第十四章
偏导数和含微分
1、偏导数和全微分的概念。
2、复合函数求偏导数的法则。
3、隐函数的求导法则。
4、空间曲线的切线与法平面方程。
5、空间曲面的切平面与法线方程。
6、方向导数与梯度。基本要求：（1）会求偏导数。
（2）掌握隐函数（一个方程，两个方程）的求导法则。
（3）会求空间曲线的切线法平面方程。空间曲面的切面与法线方程。（4）会求方向导数和梯度。第十五章
极值
1、极值与最值的求法。
2、条件极值的求法（拉格朗日乘子法）。第十六章
隐函数存在定理
1、隐函数存在定理。
2、函数行列式的性质。基本要求：
（1）掌握隐函数（一个方程，多个方程）存在定理的条件与结论。（2）熟悉函数行列式的性质。第十七、十八章
含参变量的积分
1、含参变量的定积分。
2、含参变量的无穷限积分。
3、含参变量的无界函数的积分。基本要求：
（1）掌握含参量定积分的分析性质。
（2）掌握含参变量广义积分的一致收敛性的概念，一致收敛性的判别法，主要是控制收敛定理即魏尔斯特拉斯判别法。
（3）掌握一致收敛积分的分析性质，连续性、积分号下求导，积分号下积分。第十九章
重积分，第一类曲线积分，第一类曲面积分的定义与性质 基本要求：
（1）掌握二重，三重积分，第一类曲线积分和曲面积分的定义。（2）理解重积分的几何意义，第一类曲线积分和曲面积分的物理意义。（3）掌握以上三种积分的性质。第二十章
重积分的计算及应用
1、二重、三重积分化为累次积分法。
2、二重积分、三重积分的换元积分法。基本要求：
（1）掌握二重积分转化为累次积分的方法。
（2）掌握二重积分的极坐标变换，三重积分球面坐标变换的积分法。（3）了解二重积分、三重积分的一般变换的积分方法。第二十一章
曲线积分与曲面积分的计算
1、第一类曲线积分，曲面积分的计算。
2、第二类曲线积分的定义与计算。
3、第二类曲面积分的定义与计算。
4、两类曲线积分，两类曲面积分之间的关系。第二十二章
各种积分之间的关系
1、格林公式。
2、奥高公式。
3、曲线积分与路径的关系。基本要示：
（1）掌握以上主要公式的应用。
（2）掌握曲线积分与路径的关系的条件。考试内容基本要求：
1、计算方面
（1）会求极限（2）会求导数，含偏导和高阶导数，方向导数，梯度。（3）会求积分（含不定积分，定积分、广义积分、重积分、曲线积分、曲面积分）（4）会求无穷级数的和与收敛区间，会将函数展成幂级数或Fourier级数。
2、证明方面
（1）用ε——N，ε—δ语言证明极限或函数的连续性。
（2）会运用连续函数性质（含闭区间上连续函数和极限性质如局部有界性，保号性或保序性等）以及函数极限与数列极限的关系，证明有关命题。
（3）会用微分中值定理和定积分性质证明有关命题。
（4）函数项级数，含参变量积分（广义）的一致收敛性的证明，以及运用函数项级数，含参变量积分一致收敛的分析性质证明有关命题，熟练掌握幂级数“内闭一致收敛”性质。
（6）熟练掌握一致连续函数的应用。
（7）会应用极限存在的法则（单调有界原理，Cauchy收敛准则，夹逼法则，致密性定理等）
3、判断方面
（1）会判断数值级数和幂级数的收敛性。（2）会判断广义积分的收敛性。
4、应用方面
（1）导数应用：函数的单调性，凸性、极值、不等式。
（2）积分（含重积分）的应用：面积，体积、弧长、曲面面积。
