433圆与扇形.题库学生版_圆与扇形题库练习

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圆与扇形

例题精讲

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

n圆的面积πr2；扇形的面积πr2；

360n圆的周长2πr；扇形的弧长2πr．

360

一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说111的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几246n分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．

360n比如：扇形的面积所在圆的面积；

360n扇形中的弧长部分所在圆的周长

360n扇形的周长所在圆的周长2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)

360②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)

③”弯角”：如图： 弯角的面积正方形-扇形

④”谷子”：如图：

“谷子”的面积弓形面积2

二、常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)②等积变形(割补、平移、旋转等)③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用

【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？

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【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？

【例 2】 如图，在188的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？

分之几？

【巩固】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几

4-3-3 圆与扇形 题库 page 2 of 28 【例 3】(2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．

【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．

【例 4】(人大附中分班考试题)如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)

【例 5】 图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

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【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是 ．

2m

【例 6】 如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？(π取3)

【例 7】 如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)

【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【例 8】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．

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105A

【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？

4222

【例 9】 请计算图中阴影部分的面积．

【例 10】 求图中阴影部分的面积．

ADAD

1212B12C

【例 11】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)

B12C

4-3-3 圆与扇形 题库 page 5 of 28 【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值

22． 7

【例 12】 求下列各图中阴影部分的面积．

【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)： 10(1)

43⑴

⑵

1211⑶⑷

6245⑸

⑹

4-3-3 圆与扇形 题库 page 6 of 28 【例 13】 如图，ABCD是正方形，且FAADDE1，求阴影部分的面积．(取π3)BC

FADE

【巩固】求图中阴影部分的面积(单位：cm)．

【例 14】 如图，长方形ABCD的长是8cm，则阴影部分的面积是

cm2．(π3.14)4

【例 15】(2007年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为4cm的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A与其它部分面积B之差(大减小)是 cm2．

A12BBA

【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？

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①2cm②5cm3cm③7.5cm④

【例 16】 求右图中阴影部分的面积．(π取3)

4545

20cm

【例 17】(第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．(π3.14)

A

EKFBDC

板块二 曲线型面积计算

【例 18】 如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的4倍，则角CAB的度数是________． 3CDAB

【例 19】 如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7，分别以B,C为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度(π3)

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A6B7C

【例 20】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？

43，是小圆面积的．如果量得155

【例 21】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)

【例 22】 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π3.14)

【例 23】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．

4-3-3 圆与扇形 题库 page 9 of 28 【例 24】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【例 25】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

【例 26】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．

【例 27】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)

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DB，M是ACCD【例 28】(09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，的中点，H是弦CD的中点．若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部CD

分的面积是

平方厘米．

CMHDAONB

【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．

CDAOB

【例 29】 如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)

【例 30】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)

DEABCF

【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)GFEDA10B6C

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【例 31】 如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知ABBC10，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)

AB

PDC

【例 32】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为

；(π3.14)

【例 33】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？

【例 34】(2008年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π3.14)

【例 35】 已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π3.14)

4-3-3 圆与扇形 题库 page 12 of 28 【例 36】 如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)

AD

BaC

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)AD

BC

【例 37】(2008年四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，AC4cm，BC2cm，求阴影部分的面积．

B

【例 38】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.AC

4-3-3 圆与扇形 题库 page 13 of 28 【例 39】(2008年国际小学数学竞赛)如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点．以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，若图中S1和S2两块面积之差为mπn(cm2)(其中m、n为正整数)，请问mn之值为何？

AES2GS1HD

【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)BFC

【例 40】 如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)

AFDE

BC【巩固】求图中阴影部分的面积．

1212

【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，(π3.14)

ADFEBC

4-3-3 圆与扇形 题库 page 14 of 28 【例 41】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)

【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3.14)3

【例 42】 已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以O1、O2、O3为圆心，求阴影部分的面积．(π3)AO3O13

【例 43】 一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)

【例 44】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π3.14)AO2BDC

OB

4-3-3 圆与扇形 题库 page 15 of 28 【例 45】 如图，等腰直角三角形ABC的腰为10；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．

A

ECFB

【例 46】 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC长．(π3.14)

A甲乙BC

【巩固】三角形ABC是直角三角形，阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2，AB8cm，求BC的长度．

AIIICB

【巩固】 如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB长40厘米．求BC的长度？(π取3.14)

【例 47】(2009年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．

420

4-3-3 圆与扇形 题库 page 16 of 28 【例 48】 如图，求阴影部分的面积．(π取3)

345

【例 49】 如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？

610O8

【例 50】(华校2005～2006年度第一学期期中测试第6题)大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)

O

【巩固】图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积．

4-3-3 圆与扇形 题库 page 17 of 28 【例 51】(2008年101中学考题)已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 ．(π取3.14)

【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．(π取3.14)

【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a，小正方形的面积是 ．

【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛)一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆

22的半径为1cm，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取π)

【例 52】 图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？(π3.14)

4-3-3 圆与扇形 题库 page 18 of 28 【例 53】 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆．哪个图中阴影部分的面积大？为什么？

【例 54】 如图，在33方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90°的三段圆弧与正方形ABCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S1:S2? AEFS1S2BCD

【例 55】 如图中，正方形的边长是5cm，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取3.14)

AEB是以C为圆心，AC为半【例 56】 如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，径的圆弧，求阴影部分面积．

DEAOBADEOBC

C

4-3-3 圆与扇形 题库 page 19 of 28

是以C为圆心，AC为半径的圆【例 57】 如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，AEB弧． 求阴影部分面积．

DEAOB

C

【例 58】 如下图所示，曲线PRSQ和ROS是两个半圆．RS平行于PQ．如果大半圆的半径是1米，那么阴影部分是多少平方米？(π取3.14)RSPOQ

【例 59】 在右图所示的正方形ABCD中，对角线AC长2厘米．扇形ADC是以D为圆心，以AD为半径的圆的一部分． 求阴影部分的面积．

ABDC

【例 60】 某仿古钱币直径为4厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？

4cm

4-3-3 圆与扇形 题库 page 20 of 28 【例 61】(2006年小学生数学报竞赛)传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是

平方米．

1211109875412

【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？

111098765甲乙O41212

3【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？

***

【巩固】如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米．

AOBCODEOF90．求阴影部分的面积．

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AGFJOBHCDIE

【例 62】 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积．

BO1O2

【例 63】 下图中，AB3，阴影部分的面积是

ACAEFB

D

【例 64】 如图，ABCD是平行四边形，AD8cm，AB10cm，DAB30，高CH4cm，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，则阴影部分的面积为多少？(精确到0.01)

EDNCAMBFH

4-3-3 圆与扇形 题库 page 22 of 28 【例 65】 如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也没有滑动)．在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的．那么，圆的半径是多少厘米？(设圆周率为3．14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全部写出)

P

【例 66】(第三届希望杯)将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.37A7D′D3A′B12C′CD′DC′CDD′CA73A′BB′12A73A′BB′12

图1

图2

图3

板块三 曲线型旋转问题

【例 67】 正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)

BACBA

4-3-3 圆与扇形 题库 page 23 of 28 【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点．求C点经C1到C2走过的路径的长．

A2B60Ⅰ30AC1ⅡB1ⅢC2

C

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置．求点A走过的路程的长．

ⅣDE

ⅠABⅡCⅢ

【例 68】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)

【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)

4-3-3 圆与扇形 题库 page 24 of 28 【例 69】 如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)．

B'

60AB

【例 70】 如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ABC60，此时BC长5厘米．以点B为中心，将ABC顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(π取3)

ECABD

【巩固】如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3)

AOA'

【巩固】(2008年“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC中，B为直角，且BC2厘米，AC4 厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为 ．(π3.14)

AA

B'BC

BCA'

4-3-3 圆与扇形 题库 page 25 of 28 【例 71】 如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米．现在以C点为圆心，把三角形ABC顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是

平方米．(π3.14)

A

B

【例 72】(祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积．

ABC

DC

【例 73】(2004年第九届华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

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【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n(n1)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

【例 74】 如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？

【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形(圆心的连线)．

用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？

【例 75】 一枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A点重合的点是______．硬币自己转动______，硬币圆心的运动轨迹周长为_______．

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DEFCBA

【例 76】 先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲边三角形(如左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？(π3.14)A2B22C

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