高考数学单元复习训练18：等比数列_高考数学等比数列

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课时训练18等比数列

【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）

1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的（）

A.充分不必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则

b2=ac.2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于（）

A.120B.240C.320D.480

【答案】C

【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列（公比为q2）.bc，即ab

2∴a5+a6==320.20

3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为（）

A.0B.1C.-1D.2

【答案】C

【解析】∵an=S13a

n1(n1),n2.SnSn12

3要使{an}成等比，则3+a=2·31-1=2·30=2,即a=-1.4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若

1,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}前n项和Sn的取值范围是（）2

11A.［，2)B.［，2］ 22

11C.［，1)D.［，1］ 22a1=

【答案】C

【解析】因f(n+1)=f(1)·f(n),则an+1=a1·an=

∴数列{an}是以

∴an=(1an，211为首项，公比为的等比数列.221n).2

11[1()n]1Sn==1-()n.1212

1∵n∈N*,∴≤Sn＜1.2

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5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2,aa51a3,a1成等差数列，则4的值是()2a5a6

A.151B.22

15151D.或 222C.【答案】B

【解析】∵a3=a2+a1,∴q2-q-1=0,q=151，或q=(舍).22

∴a4a51251.a5a6q2

16.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40·a50·a60的值为()

A.32B.64C.±64D.256

【答案】B

【解析】因a1·a99=16,故a502=16,a50=4,a40·a50·a60=a503=64.7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那么P等于()

SA.（S·S′)B.()2 S'

SS'C.()nD.()S'S

【答案】B

【解析】设等比数列的首项为a1,公比q（q≠1）

则P=a1·a2·…·an=a1n·n12n2n qn(n1)

2,a(1qn)S=a1+a2+…+an=, 1q

1111qn

S′=, +…+a1a2ana1qn1(1q)

S∴()2=(a12qn-1)2=a1nqS'

当q=1时和成立.nnn(n1)2=P,二、填空题（每小题5分，共15分）

8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.【答案】38

4a1(1q5)a1q(1q5)【解析】易知q≠1，由S5==93及=186.1q1q

知a1=3,q=2,故a8=a1·q7=3×27=384.9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1=

an=1Sn(n≥1),则31,n1, n2.________,14)·（）n-2 3

31【解析】∵an+1=Sn, 3

1∴an=Sn-1(n≥2).3

1①-②得,an+1-an=an, 3【答案】（∴an14(n≥2).an3

111S1=×1=, 333

14∴当n≥2时，an=·（）n-2.33∵a2=

10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.①若a,b,c成等比数列，则b=abc②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列③若{an}的通项an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),则{an}是等比数列④若{an}的前n项和Sn=apn(a,p均为非零常数)，则{an}是等比数列⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列

【答案】②④

【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；

④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1),a2a3,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.a1a

21, an

三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn=

(1)求证数列{bn}也是等比数列；

（2）已知q＞1,a1=1,问n为何值时，数列{an}的前n项和Sn大于数列{bn}的前n项和Sn′.3q

(1)证明：∵an1=q, an

∴bn1a1n为常数，则{bn}是等比数列.bnan1q

(2)【解析】Sn=a1+a2+…+an a1(1qn)qn1=, 31qq(q1)

Sn′=b1+b2+…+bn 11(1n)aq4(qn1)qn=, 1q(q1)1q

当Sn＞Sn′时，qn1q4(qn1).n3q(q1)q(q1)

又q＞1,则q-1＞0,qn-1＞0, 1q4

∴3n,即qn＞q7, qq

∴n＞7,即n＞7(n∈N*)时，Sn＞Sn′.12.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…此数列是首项为1，公比为1的等比数列.3

(1)求数列{an}的通项；

（2）求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)由已知得an-an-1=(1n-1)(n≥2),a=1, 3

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)11()n

3［1-(1)n］.=13213

(2)Sn=a1+a2+a3+…+an =3n31121-［+()+…+()n］ 32233

3n31-［1-()n］ 324

6n331×()n.=443=

13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.(1)求数列{cn}的前n项和Sn.(2)是否存在n∈N*,使得

【解析】(1)由已知得

2a12,a1(1q)10, 2q2.a1q(1q)20,1112成立？请说明理由.anan3

∴an=a1qn-1=2n.∴cn=11-log2a2n=11-log222n

=11-2n.Sn=c1+c2+…+cn=n(c1cn)n(9112n)=-n2+10n.22

1111112即n2n.3aanan32(2)假设存在n∈N*,使得

∴22n+3×2n-3＜0,解得321321.2n22∵32135=1,而2n≥2, 22

111.n2n32a

x2,x∈(0,+∞),数列{xn}满足x1故不存在n∈N*满足14.(2010湖北黄冈中学模拟，22)已知函数f(x)=

xn+1=f(xn),(n=1,2,…),且x1=1.(1)设an=|xn-2|,证明：an+1＜an;

(2)设（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜2.2证明：（1）an+1=|xn+1-2|=|f(xn)-2|=|

∵xn＞0,∴an+1＜(2-1)|xn-2|＜|xn-2|=an, xn2(x221)2||n|.xn1xn1

故an+1＜an.(2)由（1）的证明过程可知

an+1＜(2-1)|xn-2|

＜(2-1)2|xn-1-2|

＜…＜(2-1)n|x1-2|=(2-1)n+1 ∴Sn=a1+a2+…+an＜|x1-2|+(2-1)2+…+(2-1)n =(2-1)+(2-1)2+…+(2-1)n =

2122［1-(2-1)n］＜21222.2