等比数列讲义_讲义等比数列

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等比数列

一 知识点回顾

1.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于_______,那么这个数列叫做等比数列,这个常数列叫做等比数列的________,用字母________表示(q≠0)

(1)如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成__________,则称G为a,b的等比中项.(2)若G是a,b的等比中项,则a,G,b满足_________,即G=ab

4.等比数列的常见性质

(1)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m,所得数列仍是等比数列,公比仍为q;

(2)若m+n=p+q, m,n,p,q∈N+,则am·an=ap·aq；

(3)若等比数列{an}的公比为q,则{

1an}是以1q为公比的等比数列;

(4)一组等比数列{an}中,下标成等差数列的项依次构成等比数列;

(5)若{an}与{bn}均为等比数列,则{anbn}也为等比数列.5.等比数列前n项和公式

设有等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为：

等比数列前n项和公式的推导

一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an。根据等比数列的通项公式，上式可写成Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1。①

①式两边乖q，得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn。②

①的两边分别减去②的两边，得（1-q）Sn=a1-a1qn。

当q≠1时，等比数列前n项和公式

因为a1qn=（a1qn-1）q=anq，所以上面的公式还可以写成当q=1时，数列{an}变为a1，a1，a1，…，a1，…，易得它的前n项和Sn=na1。

二 例题精讲

题型一等比数列的概念及通项公式

1.下列数列中,一定是等比数列的有几个()

①-1,12,-14，-81116②m,m,m,…m； 1

③1，3，9，27，81④a，a2，a3，…，an

A．1B.2C.3D.42.已知等比数列的{bn}的通项公式为bn=（-2）n，则它的公比为（）

A．2B.1C.-2D.-1

3.已知一个等比数列{an}的第2项为2，第3项与第4项的和为4，则a6=（）

A.2B.32C.2或32D.-2或-

324．已知等比数列{an}中，a3=6，a4=18，则a1+a2等于（）

A．4

3B.13C.38D.83

5.已知数列{an}是公比为q的等比数列,则数列{an+1-an}是()

A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列

C.是等比数列,但公比不为qD.不一定是等比数列

6等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于()

A.4B.8C.16D.32

7在等比数列{an}中，a6-a4=24，a3·a5=64，求an。

题型二等比数列的判定

例2 已知数列{an}的前n项和Sn，Sn=（an-1）（n∈N+）。31

（1）求a1，a2；

（2）求证：数列{an}是等比数列。

变式训练1.已知数列{an}是等差数列，c为常数，且c≠0，bn=can，求证：数列{ bn }是等比数列。

2..已知数列{an}中,a1=2,an+1=an

an3,数列{ bn }满足bn=1an12,(1)证明数列{ bn }是等比数列;(2)求an.题型三等比中项问题

例1 若a,2a+2,3a+3成等比数列,求实数a的值.例2.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230，求a2·a5·a8·…·a29的值。

题型四等比数列求和问题

1、错位相减法求和

例1求数列1，3a，5a2，7a3，…，（2n-1）an-1的前n项和。

方法点拨：（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法。

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式。

（3）应用等比数列求和公式，必须注意公比q≠1这一前提条件。如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在高考中经常考查。

2、分组求和法

例2求和：(x

方法点拨：如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项可组成等差数列或等比数列，该数列的前n项和可考虑用拆项法求解。

变式训练1求数列{2n+2n}的前n项和。

一、裂项法求和

2121y)(x21y)(x2n1yn)(x0,x1,y1)例4求

131214121n12(n2)的和。

3方法点拨：常见的拆项公式有：（1）11.(11（2）)；1n1 n。n(nk)knnkn1n题型五用等比数列的性质解题

例1在等比数列{an}中，a1+an=66，a2·an-1=128，Sn=126，求n和q。

例2已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20项的和S20=30，求S301、设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）

A、2B、4C、D、2、在等比数列{an}（n∈N*）中，若a1=1，a4=，则该数列的前10项和为（）

A、2-B、2-C、2-D、2-

3、各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n等于（A、16B、26C、30D、80）4