等差、等比数列的性质及配套练习（优秀）_等差等比性质练习

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◇等差数列与等比数列的性质◇

等

定 义 式：an 等差数列的概念 an1d(d为常数，n2,nN*)，或an1and(nN*).递 推 式：an1and(nN*).

ab.2等差中项：任何两个数a,b都有且仅有一个等差中项AA

通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d（广义）.特征：an

前n项和：Snknb，其中kd,ba1d.(a1an)nn(n1)n(n1)na1dnand.22

2特征：SnAn2Bn，其中Add,Ba1.22

注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n项和的特征，都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式.2.对任何数列，都有ann1,S1,SnSn1,n2,nN*.等差数列的性质

1.若an为等差数列，则anam(nm)d(m,nN*).2.若an为等差数列，且mnpq(m,n,p,qN*)，则amanapaq.3.若an为等差数列，则S2n1an(2n1)中间项 项数.S奇n14.若等差数列an共有2n1项，则①S奇S偶a中；②.S偶n

S偶an15.若等差数列an共有2n项，则①S偶S奇nd；②.S奇an

6.若an为各项均不为零的等差数列，前n项和为Sn,，则

anS2m

1.2n1

amS2m12n1

anS2n1

.

bnT2n1

7.若an、bn均为各项非零的等差数列，前n项和分别为Sn,Tn，则8.在等差数列an中，若amn,anm(mn)，则amn0.9.在等差数列an中，若Smn,Snm(mn)，则Smn(mn).10.在等差数列an中，若SmSn(mn)，则Smn0.11.若an为等差数列，则kanb仍为等差数列，其中k和b是常数.12.若an、bn为等差数列，则anbn仍为等差数列.13.若an为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若an为等差数列，bn为

正整数等差数列，则

a为等差数列.bn

14.Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列

Sn

为等差数列.n

15.若an为等差数列，则an依次k项和仍为等差数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k.…仍为

等差数列.等比数列

等比数列的概念

an1an

q(nN*).q(常数q0,n2,nN*)，或定 义 式：

anan

1递 推 式：an1

anq(nN*).等比中项：两个同号的实数a,b才有但有两个等比中项GGab.通项公式：an



a1qn1，anamqnm（广义）.前n项和：当q1时，Snna1，a1(1qn)a1a1qna1an1an(1qn)

当q1时，Sn.1

1q1q1q1q

特征：SnA(qn1)(A0).注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.等比数列的性质

1.若an为等比数列，则an

amqnm(m,nN*).2.若an为等比数列，且mnpq(m,n,p,qN*)，则amanapaq.3.若an为等比数列，则kan仍为等比数列，其中k是非零常数.．．

4.若an为等比数列，则当an恒有意义时an仍为等比数列，其中k是任意常数.k



k



5.若an、bn为等比数列，则anbn、

an

仍为等比数列.bn

6.若an为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若an为等比数列，bn为

正整数等差数列，则

a为等比数列.bn

7.Tn为正项数列an的前n项积，则an为等比数列

为等比数列.n

8.若Sk为等比数列an的前n项和，且Sk0，则an依次k项和仍为等比数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k.…仍为等比数列.注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入.等差数列与等比数列的联系

1.非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。

2.等差数列与等比数列可以相互转化.事实上，若an是等比数列，则logcan是等差数列；

若an是等差数列，则c

是等比数列，其中c是常数，且c0,c1.an

3.等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的运算有类似的性质.等差、等比数列性质配套练习

一、选择题：

1.在正整数500至1000之间能被11整除的个数为（）A.34B.35C.36D.37 2．等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99的值为()

214

5A.60B.85C.D.75

3.设函数f(x)满足f(n+1)=A.95

2f(n)n

(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为（）2

C.105

D.192

B.97

4.若an是等差数列，首项a10,a2011a20120,a2011a20120,，则使前n项和Sn0成 立的最大自然数n是（）A．4021B．4022C．4023D．402

45.在等差数列an中，若S918,Sn240 ,an430，则n的值为（）A.14

B.15

C.16

D.17

6．已知数列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…是首项为1，公比为的等比数列，则

3an(n∈N*)等于（）3131212

1)B.(1n1)C.(1)D.(1n1)A.(1

2323333n3nn

7．已知数列前n项和Sn=2-1(n∈N*)，则此数列奇数项的前n项和为()

1111

A.(2n11)B.(2n12)C.(22n1)D.(22n2)

3333

8．若正数a、b、c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax、logbx、logcx()

A.依次成等差数列B.依次成等比数列

C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列

9．正项等比数列｛an｝的首项a1=2-5，其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取一项后的 几何平均数仍是25,则抽去一项的项数为()A.6B.7C.9D.1

1(a1a2)

210已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值

b1b

2范围是()A.RB.(0,4C.［4,+D.(-∞,0］∪［4,+∞)

二、填空题：

11.在等差数列an中,若s1560,则a8等于________________.12.在等差数列an中,a10a2a8, ,则使它的前n项和Sn取最大值的自然数n.13.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn、Tn,若

Sna2n

=,则11=_________.Tn3n1b1

114.在等比数列bn中,b1b1

52,则b3b13的值等于______________.b4b8b1

215.设an为公比大于1的等比数列，若a2009,a2010是方程4x8x30的两根，则

a2011a201216.某等比数列中, 前7项和为48, 前14项和为60,则前21项和为________________.17.已知f(x)

三、解答题：

18.在等差数列an中，若a1=25且S9=S17,问：数列an前多少项的和最大？

2x，当x11,xnf(xn1)(n2,nN*),则x2012___________.x2

3n217n

19.若数列an的前n项和Sn=-(n∈N*)，求数列｛|an|｝的前n项和Tn.22

20.若等比数列an的公比q1,又a17a24,求使a1a2an

111 a1a2an

成立的自然数n的取值范围.21.在某两个正数之间插入一个数a,则三数成等差数列，若插入二个数b,c,则四数成等比数列.(1)求证:2a≥b+c;

(2)求证:(a+1)≥(b+1)(c+1).22.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2),a1(1)求证：

1.2

1

（2）求an表达式.是等差数列；

Sn